Spé Maths Terminal S : Arithmétique.

[nitramnitram]

Bonjour à tous !

J'ai un soucis avec l'une des questions de l'exercice qui m'est posé. Il s'agit de trouver quel est le plus grand entier n non décomposable, en n=ua+vb (avec a et b premiers entre eux, u et v deux entiers naturels).

C'est la question intermédiaire qui suit qui me pose problème : soit a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux et n un entier naturel avec n>=ab. Démontrer qu'il existe u et v entiers naturels tels que ua+vb=n.

Merci

[Kikoo <3 Bieber]

Salut,

T'utilises le théorème de Bézout et c'est immédiat non ?

[nitramnitram]

Le problème c'est qu'il y a 2 conditions supplémentaires, on sait que n>=ab et que u et v sont des entiers naturels (contrairement au théorème de Bézout ou ils sont relatifs).

[chan79]

Le problème c'est qu'il y a 2 conditions supplémentaires, on sait que n>=ab et que u et v sont des entiers naturels (contrairement au théorème de Bézout ou ils sont relatifs).

salut
un exemple pour te mettre sur la voie

a=3
b=5
n=20
a et b sont premiers entre eux, on trouve l'égalité:
(2*3)+(-1*5)=1
en multipliant par 20
(40*3)+(-20*5)=20
en diminuant le nombre rouge de 5 et en augmentant le nombre bleu de 3, on obtient toujours 20
(35*3)+(-17*5)=20
(30*3)+(-14*5)=20
(25*3)+(-11*5)=20
(20*3)+(-8*5)=20
(15*3)+(-5*5)=20
(10*3)+(-2*5)=20
(5*3)+(1*5)=20
à toi de généraliser, si c'est possible ...

[nodjim]

La proposition est clairement fausse.
ua+vb=n avec les 5 termes entiers naturels, donc positifs, et bien il n'y a pas toujours de solution.
a=5 b=6 et n= 7 par exemple, ne marche pas.

[Kikoo <3 Bieber]

Nodjim : dans ton exemple, tu prends un n qu'est pas supérieur à ab

[nodjim]

Ah, Ok j'avais mal lu.

[chan79]

salut
un exemple pour te mettre sur la voie

a=3
b=5
n=20
a et b sont premiers entre eux, on trouve l'égalité:
(2*3)+(-1*5)=1
en multipliant par 20
(40*3)+(-20*5)=20
en diminuant le nombre rouge de 5 et en augmentant le nombre bleu de 3, on obtient toujours 20
(35*3)+(-17*5)=20
(30*3)+(-14*5)=20
(25*3)+(-11*5)=20
(20*3)+(-8*5)=20
(15*3)+(-5*5)=20
(10*3)+(-2*5)=20
(5*3)+(1*5)=20
à toi de généraliser, si c'est possible ...

Ca m'a l'air de se généraliser
Soient a et b premiers entre et n entier supérieur ou égal à ab.
On peut supposer que n n'est multiple ni de a, ni de b. Dans ces cas là, c'est évident.
Donc, il existe deux entiers u et v tels que ua+vb=1 (supposons v0
k -nv/a
on en déduit que k = E(-nv/a)+1
et que k-1 0
on multiplie la première inégalité par ab
abk-abab, on a abk < abk-ab+n
finalement abk < nua donc bk <nu cqfd

exemple
a=26
b=33
n=1000
on a: 14*26+(-11)*33=1
k=E(11000/26)+1=424
-11000+424*26=24
14000-424*33=8
8*26+24*33=1000

[nitramnitram]

Merci pour vos réponses. Je vais travailler sur celles-ci.

[chan79]

Merci pour vos réponses. Je vais travailler sur celles-ci.

si n < ab, il se peut que qu'on puisse trouver une solution
a=26
b=33
n=500
k=212
4*26+12*33=500
Evidemment, dans certains cas, si, n<ab, on ne peut pas trouver de solution: a=3, b=4 et n=5

[nodjim]

C'est plus que probable: une certitude!

[nitramnitram]

Merci encore.
Le but était de montrer qu'il existe un ensemble d'entiers naturels n ne pouvant s'écrire n=ua+vb (u et v naturels), et que celui-ci était majoré par ab justement. Dans la suite de l'exercice, il fallait justifier que le plus grand entier n non décomposable en ua+vb=n (u et v naturels) est n=ab-a-b.

[chan79]

Merci encore.
Le but était de montrer qu'il existe un ensemble d'entiers naturels n ne pouvant s'écrire n=ua+vb (u et v naturels), et que celui-ci était majoré par ab justement. Dans la suite de l'exercice, il fallait justifier que le plus grand entier n non décomposable en ua+vb=n (u et v naturels) est n=ab-a-b.

Ce serait bien d'avoir l'intégralité du texte, je pense

[nitramnitram]

Je viens de finir le reste de l'exercice (mais si cela vous intéresse je peux l'envoyer).

[Kikoo <3 Bieber]

C'est comme tu veux ;)

[Anonyme]

Salut

La solution est quasi évidente si on sait que pour 2 entiers naturels a et b

on a : PGCD(a,b) PPCM(a,b) = ab