DM spé maths .

[Zazou29]

Bonjour,

1. On considere l'équation (1) d'inconnu (n,m) élément de Z²: 11n - 24m = 1

a) Justifier a l'aide de l'enonce d'un theoreme, que cette equation admet au moins une solution
b) En utilisant l'algorithme d'euclide, determiner une solution particuliere de l'equation 1
c) Determiner l'ensemble des solutions de l'equation 1

2; Recherche du PGCD de (10^11)-1 et (10^24)-1

a) Justifier que 9 divise (1O^11)-1 et (10^24)-1
b) (n,m) designant un couple quelconque d'entiers naturels solution de 1. Montrer que l'on peut écrire :

[ (10^11n)-1]- 10x[(10^24m)-1]=9
c) Montrer que (10^11)-1 divise (10^11n)-1
( on rappelle l'égalité a^n-1= ( a-1)[a^(n-1) + a^(n-2) + ... a^0 ] valable pour tout entier naturel n non nul )
Déduire de la question précedente l'existence de deux entiers n et m tels que :[ (10^11)- 1]N - [(10^24)-1]M = 9
d) Montrer que tout diviseur commun a (10^24)-1 et (10^11)-1 divise 9.
e) Déduire des questions précedentes le PGCD de (10^24)-1 et (10^11)-1


=> Nous arrivons l'exercice jusqu'à les question 2)a, mais la suite nous pose probleme. AIdez-nous SVP !!!!

[Kah]

Salut!
b):L'equation (1) est ton amie: develloppe le "-10( truc)" sans te tromper avec les puissances, et puis c'est fini :D

[Zazou29]

On te remercie pour ta réponse, mais on ne voie pas ou sa mène. Est ce que tu pourrais nous donner plus de précision stp. Il faut développer (10^11n)-1 ?

[Florélianne]

Bonsoir


1.On considère l'équation (1) d'inconnu (n,m) élément de Z²: 11n - 24m = 1
a) Justifier à l'aide de l'énoncé d'un théorème, que cette équation admet au moins une solution

11 et 24 sont étrangers (ou premiers entre eux) d’après le théorème de Bezout il existe (u,v) de ZxZ tel que 11u + 24v = 1

Donc si w= -v , 11u – 24w = 1



b) En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminer une solution particulière de l'équation (1)

11 x 11 – 5 x 24 = 121 – 120 = 1


c) Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation (1)
si 11n - 24m = 1 et 11n’ – 24m’ = 1 alors 11(n-n’) – 24(m-m’) = 0

11(n - n’) = 24(m – m’)

Donc 11 divise 24(m – m’) mais 11 ne divise pas 24 donc 11 divise m-m’

Donc m’ = m + 11 k ( avec k entier relatif)

24 divise 11(n-n’) mais 24 ne divise pas 11 donc 24 divise n – n’

Donc n’ = n + 24 k’ avec k’ entier relatif

11(n+24k’) – 24(m+11k) = 11n+ 264k’ – 24m -264k = 1

Comme 11n - 24m = 1 on a 264(k’-k) = 0 donc k = k’

Donc m’= m + 11k et n’ = n + 24k avec k entier relatif

m’ = 11+11k = 11(k+1) et n’ = 5+24k avec k entier relatif


2. Recherche du PGCD de (10^11)-1 et (10^24)-1
a) Justifier que 9 divise (1O^11)-1 et (10^24)-1

On sait que pour tout x de réel et tout n entier naturel, x^n – 1 = (x-1)(x^(n-1)+…+x+1)

Donc 10^11 -1 = (10-1)(10^10 + 10^9+…+10+1) = 9(10^10 + 10^9 + …+ 10+1)

Donc 9 divise 10^11 -1

De même pour

10^24 -1 ...



b) (n,m) désignant un couple quelconque d'entiers naturels solution de 1. Montrer que l'on peut écrire :
[ (10^11n)-1]- 10x[(10^24m)-1] = 9

si 11n > 24m

10^11n -1 -10^(24m+1) +10 = 10^(11n) [1- 10^(24m+1-11n)] + 9

Mais 24m+1-11n= -(11n-24n-1) = 0 puisque 11n-24m=1

Donc 10^(24m+1-11n) = 10^0 = 1

Donc 10^(11n) [1- 10^(24m+1-11n)] = 10^(11n) [1-1] = 10^(11n) x 0 = 0

Donc [ (10^11n)-1]- 10x[(10^24m)-1]=9

Si 24m > 11n

faire pareil...
Donc [ (10^11n)-1]- 10x[(10^24m)-1]=9


c) Montrer que (10^11)-1 divise (10^11n)-1
( on rappelle l'égalité a^n-1= ( a-1)[a^(n-1) + a^(n-2) + ... a^0 ] valable pour tout entier naturel n non nul )

(10^11n) -1= (10^11)^n – 1 = (10^11 – 1)[(10^11)^n-1 +…+(10^11)+1]

Donc 10^11 – 1 divise 10^11n -1

Déduire de la question précédente l'existence de deux entiers n et m tels que :[ (10^11)- 1]n - [(10^24)-1]m = 9

On a vu que c’était vrai pour n = m = ?



d) Montrer que tout diviseur commun a (10^24)-1 et (10^11)-1 divise 9.

Si d divise (10^24)-1 alors il existe un entier naturel q tel que (10^24)-1 = dq

Si d divise (10^11)-1 alors il existe un entier naturel q’ tel que (10^11)-1 = dq’

[ (10^11n)-1]- 10x[(10^24m)-1] =...



e) Déduire des questions précédentes le PGCD de (10^24)-1 et (10^11)-1

facile

Bon travail, la rédaction en ligne n'est pas très claire ...

[Zazou29]

Merci beaucoup pour t'as réponse ça nous a beaucoup aidé.
Pour le PGCD on prend les diviseurs de 9 : 1, 3 et 9
et ensuite?
On doit trouver 9?

[Fafy]

(10^11n -1)/(10^11 -1)

[catamat]

Bonjour

La question 2b peut être traitée plus rapidement, en développant :


car 11n=24m+1 puisque (n,m) est solution de (1)