SPE MATHS Surfaces et intersections

[GuiGuilove]

Bonsoir, j'aurais besoin d'un peu d'aide pour un exercice de spe maths. Je n'étais pas la au premier cours sur les surfaces et intersections et donc je bloque sur cette exo.. Merci de m'aider

Le but de l'exercice est de décrire l'intersection du cylindre C d'équation x²+y²=4 avec un plan qui n'est parallete à aucun des plans de coordonnées dans l'espace d'un repère orthonormal (O,i,j,k).

1) Donner les éléments caractéristiques du cylindre.
2) On considère l'ensemble P des points M dont les coordonnées vérifient y=z, que l'on va maintenant décrire.
Déterminer les intersections de P avec les trois plans (O,i,j), (O,i,k) et (O,j,k).
Donner les coordonnées de quelques points de P.
On admet pour le moment que P est le plan (OIA) où O(1,0,0) et A(0,1,1).
3) Essayer de visualiser : à quoi ressemble l'intersection C n P ? La suite de l'exercice consiste à préciser cette impression.

4)On envisage d'utiliser le repère (O,i,v,w) ou v= rac2/2(j+k) et w= rac2/2(-j+k). On note V et W les points définis par OV=v, et OW=w.
On admettra que l'on peut calculer des produits scalaires dans l'espace avec les mêmes propriétés que dans le plan, par la formule u.u'=xx'+yy'+zz'.

a) Vérifier que les points I et V se trouvent dans le plan P.
b) Vérifier que les vecteurs i,v et w sont deux à deux orthogonaux et que leur norme (ou longueur) vaut 1 : on voit ainsi que le repère (O,i,v,w) est orthonormal.
c) Si le même point M a pour coordonnées (x,y,z) dans le repère (O,i,j,k) et (X,Y,Z) dans le repère (O,i,v,w), cela signifie que OM=xi+yi+zk et OM=Xi+Yv+Zw.
En deduire les expressions de x, y, z en fonction de X,Y,Z.
d) Vérifier que l'on a l'equivalence : x=y <=> Z=0.
Comment caractériser l'ensemble P dans le nouveau repere ?

Voila Voila :mur:

[Florélianne]

Bonsoir,
Il est tard donc je t'aide juste pour le début ce soir...

Le but de l'exercice est de décrire l'intersection du cylindre C d'équation x²+y²=4 avec un plan qui n'est parallèle à aucun des plans de coordonnées dans l'espace d'un repère orthonormal (O,i,j,k).

1) Donner les éléments caractéristiques du cylindre.
cylindre C d'équation x²+y²=4
comme z n'intervient pas, la section du cylindre par le plan horizontal a pour équation x²+y²= 4
ceci est l'équation dans un plan du cercle de centre O de rayon 2, le cylindre est vertical, son axe est l'axe (zz')

2) On considère l'ensemble P des points M dont les coordonnées vérifient y=z, que l'on va maintenant décrire.
y=zest l'équation d'un plandans l'espace
Déterminer les intersections de P avec les trois plans (O,i,j), (O,i,k) et (O,j,k).

1. intersection avec (O, i; j) d'équation z=0: y=z=0 donc c'est la droite (O; i)
2. avec (O; i;k) d'équation y=0 : y=z=0 donc c'est encore la droite (O ; i)
3. avec (O; j;k) d'équation x=0 c'est la droite (O; j+k)

Donner les coordonnées de quelques points de P.
On admet pour le moment que P est le plan (OIA) où O(1,0,0) et A(0,1,1). ???
3) Essayer de visualiser : à quoi ressemble l'intersection C n P ? La suite de l'exercice consiste à préciser cette impression.

4)On envisage d'utiliser le repère (O,i,v,w) ou v= rac2/2(j+k) et w= rac2/2(-j+k). On note V et W les points définis par OV=v, et OW=w.
On admettra que l'on peut calculer des produits scalaires dans l'espace avec les mêmes propriétés que dans le plan, par la formule u.u'=xx'+yy'+zz'.

a) Vérifier que les points I et V se trouvent dans le plan P.
b) Vérifier que les vecteurs i,v et w sont deux à deux orthogonaux et que leur norme (ou longueur) vaut 1 : on voit ainsi que le repère (O,i,v,w) est orthonormal.
c) Si le même point M a pour coordonnées (x,y,z) dans le repère (O,i,j,k) et (X,Y,Z) dans le repère (O,i,v,w), cela signifie que OM=xi+yi+zk et OM=Xi+Yv+Zw.
En déduire les expressions de x, y, z en fonction de X,Y,Z.
d) Vérifier que l'on a l'équivalence : x=y Z=0.
Comment caractériser l'ensemble P dans le nouveau repère ?
Bon courage, moi je ne suis plus en état de poursuivre... pour ce soir !

[GuiGuilove]

Merci j'avais reussi le debut sauf pour l'intersection de P avec le plan (O,j,k) mais maintenant j'ai compris avec tes reponses =)

Pour les coordonnées de quelques points P, j'ai mis (0,0,0) ; (5,2,2) ; (2,1,1) etc..
Pour l'intersection de P avec C, je pense que c'est un cercle incliné et pour la suite de l'exercice avec le changement de repere, je bloque completement, si tu pouvez m'aider encore un peu =) Merci

[Florélianne]

Bonjour
c'est une ellipse...
Bonne continuation