Spé maths nombres premier

[raptor77]

Bonjour les ami(e)s je n'arrive pas à résoudre cet exercice : montrer que si
(2)^p-1 ets un nombre premier alors p est aussi premier.
Merci d'avance pour votre aide
Cordialement
raptor

[Nightmare]

Bonsoir,

La contraposée est triviale :

Si p n'est pas premier, alors il existe a et b différents de 1 tels que .
alors :
qui n'est donc pas premier.

[le_fabien]

salut è toi.petit théorème de Fermat il me semble (à verifier bien sur)

[le_fabien]

c'est 2^p-1 ou 2^(p-1) ?

[raptor77]

Bonsoir,

La contraposée est triviale :

Si p n'est pas premier, alors il existe a et b différents de 1 tels que .
alors :
qui n'est donc pas premier.

Salut Nightmare, c'est quoi la contraposée?et en quoi ton résultat finale me permet-il de dire p est premier?

[Nightmare]

c'est 2^p-1 ou 2^(p-1) ?

La question ne se pose pas, 2^(p-1) n'est jamais premier sauf si p=2, il me semble que l'exercice soit un peu plus compliqué que cela :lol3:

Raptor77 >

La contraposée revient à montrer que Non(A) => Non(B) pour montrer que B=>A

Par exemple pour montrer que si truc est premier alors machin est premier, on montre que si machin est composé alors truc est composé.

Ma conclusion vient du fait qu'on a factorisé 2^(p)-1 par deux facteurs différents de 1 donc il est composé CQFD.

[raptor77]

La question ne se pose pas, 2^(p-1) n'est jamais premier sauf si p=2, il me semble que l'exercice soit un peu plus compliqué que cela :lol3:

Raptor77 >

La contraposée revient à montrer que Non(A) => Non(B) pour montrer que B=>A

Par exemple pour montrer que si truc est premier alors machin est premier, on montre que si machin est composé alors truc est composé.

Ma conclusion vient du fait qu'on a factorisé 2^(p)-1 par deux facteurs différents de 1 donc il est composé CQFD.

Ok merci Nightmare mais ya un truc que je comprends pas le prof a dit que si p était premier alors 2^p-1 était soit premier soit composé. ya pas un problème dans ce qu'il dit? et si c'est vrai, est-ce que quelqu'un peut me dire pourquoi
merci

[le_fabien]

c'est vrai nightmare, je ne suis pas des plus vifs ce soir....

[Nightmare]

Pourquoi il y aurait-il un problème?

Si p est premier, 2^(p)-1 peut être premier ou composé.

Pour p=3 par exemple il est premier, pour p=4 il ne l'est plus.

[raptor77]

Pourquoi il y aurait-il un problème?

Si p est premier, 2^(p)-1 peut être premier ou composé.

Pour p=3 par exemple il est premier, pour p=4 il ne l'est plus.

OUi mais est-ce qu'on peut généralisé ca?

si p=4 p n'est pas premier

[Nightmare]

Qu'entends-tu par généraliser?

Tu veux savoir exactement quand est-ce que 2^(p)-1 est premier ou non? A priori on ne sait pas (sinon on aurait un moyen simple de générer tous les nombres premiers).

[raptor77]

Qu'entends-tu par généraliser?

Tu veux savoir exactement quand est-ce que 2^(p)-1 est premier ou non? A priori on ne sait pas (sinon on aurait un moyen simple de générer tous les nombres premiers).

NOn ce que je veux dire c'est comment démontrer que quand p est PREMIER 2^p-1 est soit premier soit composé

[Nightmare]

C'est une évidence, puisqu'un nombre est soit premier est soit composé, on a pas besoin de le démontrer !

[raptor77]

C'est une évidence, puisqu'un nombre est soit premier est soit composé, on a pas besoin de le démontrer !

désolé je comprends pas pourquoi quand p est premier 2^p-1 est soit premier soit composé

[Nightmare]

Si p=3, 2^p-1 est premier
Il faut monter jusqu'à p=11 et on obtient un composé.

Donc si p est premier, a priori on ne peut rien dire sur la primalité de 2^p-1.

[raptor77]

Si p=3, 2^p-1 est premier
Il faut monter jusqu'à p=11 et on obtient un composé.

Donc si p est premier, a priori on ne peut rien dire sur la primalité de 2^p-1.

Non c'est faux j'ai essayé p jusqu'à 11
et j'obtiens pour p=5 2^5-1=31 qui est premier
p=7 2^7-1=127 qui est premier
p=11 2^11-1=2047 qui doit être premier aussi

[Nightmare]

23x89 = ? :lol3:

[raptor77]

23x89 = ? :lol3:

Ah oui pas mal!
Merci Nightmare.
Bonne soirée à toi.
cordialement
Raptor

[Nightmare]

De rien :happy3:

Bonne soirée à toi aussi.

Au fait, si ce sujet t'interresses, tu peux aussi essayer de voir ce qui se passe avec les nombres de Fermat, nombres de la forme (les 2^n-1 sont les nombres de Mersenne)