Dm spe maths nombre premier

[mamaco860]

Bonjour j'ai un petit problème pour mon dm j'ai un peu près compris le sujet mais je n'arrive pas à faire les démonstrations voici le sujet:
Exo 1
Leo et Léa se lancent des défis en voici un:
"Choisis un nombre premier supérieur à 2. Élevé le au carré et ajoute treize. Divisé ce nombre obtenu par quatre et garde le reste de cette division je parie que c'est deux"
Faire une démonstration si on est d'accord ou trouver un contre exemple
Pour moi il faut faire une démonstration

Exo 2
Démontrer qu'il n'existe aucun entier naturel ne non nul tel que:
Les seuls facteurs premiers dans la décomposition de ne sont 2 et 3
Le nombre de diviseurs positif de n au carré est le double de celui de n
Le mieux est de faire une démonstration par l'absurde mais comment??
Merci d'avance ☺

[zygomatique]

salut

1/ soit p > 2 un nombre premier alors ...

2/ soit k = 2^m * 3^n alors ...

[mamaco860]

Désoler mais j'ai du mal à voir
Soit p>2 un nombre premier alors le reste de p+13/4 est deux?? Mais en faite j'ai compris le problème mais problème c'est faire la démonstration pour le prouver

Soit k=2^m*3^n alors k^2=2^2m*3^2mn ??? mais comment prouver que k^2 n'as pas le double de diviseurs que k

[zygomatique]

1/ as-tu lu l'énoncé ? que fait-on avec p ? que peut-on dire d'un nombre premier p > 2 ?

2/ ne sais-tu pas calculer le nombre de diviseurs d'un entier connaissant sa décomposition en produit de facteurs premiers ?

[Pseuda]

Bonjour,

1) Une indication : un nombre premier supérieur à 2 est impair. Il faut en effet faire une démonstration.

2) Tu peux savoir avec ton cours le nombre de diviseurs du nombre n = 2^m * 3^p

[mamaco860]

1) comme ça impair si on y ajoute treize qui est impair aussi cela fait un nombre pair
Donc n+13=2k soit k un entier après n+13/4=4×q+2
2k/4=4×q+2
C'est pas mal le début comme ça? ?

2)n=2^m*3^pour donc n^2= 2^2m*3^2p supposons qu'ils ont le double de diviseurs mais je n'ai pas trouvé dans mon cours le nombre de diviseurs de 2^m*3^n

[Pseuda]

1) il faut détailler un peu plus : un nombre impair s'écrit 2n+1, son carré +13 s'écrit ....

2) nombre de diviseurs de 2^m * 3^p = (m+1) * (p+1) : pourquoi ?

[mamaco860]

1) (2n+1)^2+13=4n^2+4n+1+13=4n^2+4n+14
Comme tout est divisible par 4 sauf 14 qui est egal à 3*4+2 d'où le reste deux à la fin !!!

2) il y ce nombre de diviseurs car n=2^m*3^p ; n est divisible par 2 et par 3 d'où le 1 mais aussi par les puissance de 2 et de 3
donc pour 2^2m×3^2p = (2m+1)*(2p+1)
Comme l'opération est un multiplication ça ne peut pas donner le double

[Pseuda]

Bonjour,

1) ok.

2) oui mais pourquoi ? Tu peux par exemple montrer que le nombre de diviseurs positifs de n ^2 est strictement supérieur au double de celui de n.

[mamaco860]

D'accord Merci beaucoup je pense que je vais pouvoir m'en sortir

[zygomatique]

1/ autant écrire: ... = 4(n^2 + n + 3) + 2

2/ il faut donc résoudre l'équation : 2(m + 1)(n + 1) = (2m + 1)(2n + 1)

...