Spé maths - Matrice et suite

[Lolterrible]

Bonjour,
Je suis nouvelle sur le forum et en terminal S spe Maths.
Je bloque sur une question de mon DM de spécialité mathématiques. Mon prof nous a demandé de faire l’exercice de spe du sujet de bac de septembre 2014 à propos des interactions sociales entre souris et il nous a ajouté une question à laquelle je n’en trouve pas de réponse.

Je suis allée jusqu’à la question 1)c) et j’ai réussi à trouver que Un+1=MUn avec M la matrice (0,8 0,1 0,2 0,9) et n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
Je dois maintenant démontrer que Un = M^n.U0.
Pouvez vous m’aider ?

Merci d’avance.

[Pseuda]

Bonjour,

Par récurrence en utilisant la relation Un+1=MUn. C'est presque du cours. C'est valable pour n'importe quelle matrice.

[Elias]

Salut,

U1 = M U0 ok ?

U2 = M U1 = M (M U0) = M^2 U0 ok ?

U3 = M U2 = M (M^2 U0) = M^3 U0 ok ?

Du coup Un =... ?

Maintenant que tu as senti que c'etait vrai, la façon "propre" de l'écrire, c'est de le montrer par récurrence.

Remarque: c'est exactement la même preuve que celle qui consiste à donner la formule explicite des suites géométriques

[Lolterrible]

Merci beaucoup à vous deux, ça m’a complètement débloqué.
Je vais pouvoir y arriver maintenant.

Merci encore et bonne journée.