Spe maths ts aide svp

[jako]

bonjour a tous,

bon voila cela fait plusieurs jours (pour ne pas dire plusieurs semaines) que je suis sur ce devoir et je n'y arrive absolument pas! je sollicite donc votre aide

voila le sujet :





ps : cliquer sur les images pour agrandir.

merci pour votre aide a tous !

[becirj]

Essayons d'avancer.
Pour les préliminaires, il me semble qu'en multipliant le résultat à obtenir par le dénominateur, on devrait trouver le numérateur, ce qui vérifie les égalités.
Y-a-t-il des questions que tu as faites ?

[jako]

oui c'est ce qu'il faut faire (c'est marqué dans les indications (cf image 2)) mais je ne vois pas comment on peut multiplier le résultat à obtenir par le denominateur alors qu'on a pas ce résultat à obtenir en entier (il y a des "...") je n'ai reussi aucune question... :mur:

[becirj]

En calculant le produit par étapes




...

En additionnant membre à membre toutes les égalités : dans le premier membre, on a le produit du résultat par le dénominateur et dans le second membre, on peut constater que les termes s'éliminent 2 par 2 il ne reste que qiui est bien le numérateur

[jako]

merci becirj pour ton aide j'avoue que je n'aurai pas trouvé tt seul. et le reste c pas gagné :(

[becirj]

La deuxième égalité se démontre exactement de la même manière.

[jako]

oui celle la j'ai reussi c'est la question d'apres qui me pose pb maintenant..

[becirj]

Partie 1
a.1)
Dans la partie préliminaire, on voit que (x+1) divise , en remplaçant x par on obtient que divise

a.2) (je n'ai pas utilisé les congrences)
m divise et divise donc m divise
m divise et donc il divise leur différence et cette différence est égale à 2 soit m divise 2.

a.3) m divise 2 donc m=1 ou m=2 mais les nombres sont impairs donc m=1.
Conséquence : les nombres et sont premiers entre eux.

b. Soit un diviseur premier de et un diviseur premier de . Etant donné que les nombres et sont premiers entre eux, .
D'autre part La suite des nombres de Fermat est strictement croissante et tend vers , on peut donc en déduire que la suite des nombres premiers est infinie.

(La partie 2 me semble plus facile en suivant les indications qui sont données)

[jako]

ouaou merci becirj !! merci bcp bcp !! je v me debrouiller pour la suite ms merci bcp pour ton aide :++: le prof nous avait prevenu que c'était le dm le plus dur qu'il n'ait jamais donné... il n'a pas menti :$

[jako]

pour la suite il faut faire un resonnement par l'absurde en suposant a impair donc a=2k+1 ms apres?

[becirj]

a.1) Si a>1, premier implique impair donc d'où
est donc pair soit
Modulo 2, il y a 2 possibilités ou
mais implique en contradiction avec ce que l'on a donc soit a pair.

a.2) Si n =kl avec k impair est divisible par en utilisant le deuxième calcul du préliminaire avec par conséquent n'est pas premier.
Donc si est premier, n ne contient pas de facteur impair, il ne peut contenir que des facteurs 2 soit

b.1)
Si est premier alors a-1=1 soit a=2.

b.2) et ce nombre est divisible par en utilisant la même égalité que dans b.1) avec a= par conséquent si n n'est pas premier alors n'est pas premier.
La contraposée donne : si est premier alors n est premier.

c) On calcule avec des nombres p premiers.
si p=2 alors A=3 ; si p=3 alors A=7 ; si p=5 alors A=31
si p=11 alors A=2047 or ce nombre n'est pas premier , il est divisible par 23.
La réciproque de la propriété démontrée en b.2) est donc fausse.