T S spé math

[tchouk]

bonjour

n est un entier naturel et on considére la fraction n^3+n/2n+1

1- prouver que tout diviseur d commun a 2n+1 et et n^3+n est premier avec n


2- en déduire que d divise n²+1 puis que d=1 ou d=5

3- pour quelles valeurs de n la fraction n^3+n/2n+1 est elle irréducible?

j'ai absolument aucune piste pour commencer l' exercice

merci de votre aide

[LN1]

Bonjour,

1)
Commence par montrer que si un entier naturel k divise n et 2n + 1 alors cet entier est 1

(rappel 1: si D divise A et B alors D divise mA + pN pour tout entier relatif m et p)
ensuite, tu suppose que d divise 2n + 1 et tu cherches les diviseur k communs à d et n

2) (rappel 2: si d divise AB et si d est premier avec A alors d divise B)
ensuite si d divise n² + 1 et 2n + 1 alors d divise 4(n² + 1) - (2n + 1)(2n - 1) (rappel 1) donc d divise ....

3) A la question précédente tu as trouvé les seul diviseurs communs de numérateur et du dénominateur. La fraction est irréductible quand le diviseur commun est 1. Pour quelles valeurs de n le diviseur commun n'est-il pas égal à 1?

Bon courage