Dm de spé math

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pitchoune55
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dm de spé math

par pitchoune55 » 30 Oct 2006, 19:57

voila g un exo a faire pour la rentrée et j'aurai besoin d'un coup de main svp...

voici l'énoncé:
Soit n un entier strictement supérieur à 1. On se propose de déterminer tous les couples de N*N tels que: (1/p)+(1/q)=(1/n)

a) Montrer que si le couples (p,q) est solution, alors p est supérieur ou égal à n , et q est supérieur ou égal à n.

b) On pose u = p - n et v = q - n . Montrer que le couple (p,q) est solution si et seulement si uv = n².

c) En déduire que les couples solutions sont les couples de la forme (n+u , n+v) où u et v sont tous les naturels tels que uv = n².

d) Si n² a d diviseurs dans N, donner le nombre de solutions de cette équation.

e) Résoudre alors l'équation (1/p)+(1/q)=(1/6)



Quidam
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par Quidam » 30 Oct 2006, 20:08

pitchoune55 a écrit:voila g un exo a faire pour la rentrée et j'aurai besoin d'un coup de main svp...

Un petit coup de main ? Tu veux dire "tout faire" ?
Si oui, n'y compte pas ! Sinon, explique jusqu'où tu es allée et où ça bloque !

pitchoune55
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par pitchoune55 » 30 Oct 2006, 20:20

nn tkiete g jamé demander kon me le fasse mais qu'on m'explique comment faire car j'essaye de le faire mais je n'y arrive pas.

Pour la premiere question, j'ai mis tout d'abord (1/p)+(1/q) au même dénominateur c'est a dire qu'on obtient (q+p)/(qp) = 1/n
par produit en croix on a : n(q+p) = qp enfin j'esssaye pleins de choses mais je ne voi pas par ou commencé donc j'ai besoin qu'on me dirige et qu'on m'explique svp... aidez moi!

Quidam
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par Quidam » 30 Oct 2006, 20:51

Le début, c'est facile ! p et q étant positifs, on a immédiatement :

(1/n)=(1/p)+(1/q)>1/p
Et de 1/n>1/p on déduit : n < p
Voilà !
Idem pour q !

pitchoune55
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par pitchoune55 » 30 Oct 2006, 22:50

j'ai vraiment cherché compliké pour ce ke sait merci c cool !

Quidam
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par Quidam » 31 Oct 2006, 01:44

pitchoune55 a écrit:j'ai vraiment cherché compliké pour ce ke sait merci c cool !

Pour le b)

Si u = p - n et v = q - n
alors p=u+n et q=v+n non ?
Alors (1/p)+(1/q)=(1/(u+n)+(1/(v+n)) et si
(1/p)+(1/q)=(1/n) alors (1/(u+n)+(1/(v+n)) = (1/n)

Développe simplifie et tu arrives tout droit sur uv=n² !

Je ne vois aucune difficulté !

pitchoune55
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par pitchoune55 » 01 Nov 2006, 17:05

merci g réussi la b et la c !
Maintenant j'ai commencé a refléchir sur la d et je me demandé si n² a d diviseurs alors uv a aussi d diviseurs, non?

pitchoune55
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par pitchoune55 » 02 Nov 2006, 17:13

alors ????

Quidam
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par Quidam » 02 Nov 2006, 18:25

pitchoune55 a écrit:merci g réussi la b et la c !
Maintenant j'ai commencé a refléchir sur la d et je me demandé si n² a d diviseurs alors uv a aussi d diviseurs, non?

Bizarre, je croyais avoir répondu ! J'ai bien tapé une réponse, mais peut-être ai-je oublié de l'envoyer !!!!

Je disais donc que oui ! Le nombre de diviseurs de n² est exactement égal au nombre de diviseurs de uv, vu que uv et n² c'est le même nombre !

Donc, si n² a d diviseurs, uv a d diviseurs !

Ca te fait combien de couples différents de diviseurs ?

Quidam
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par Quidam » 02 Nov 2006, 18:27

Hello c'est moi a écrit:Perso j'ai marqué que n² était un carré parfait donc le nombre de couples de solutions était (n+1) /2
et ça marche avec la question e du dm


Pas d'accord ! Le nombre de couples de diviseurs de 7², par exemple, n'est pas (7+1)/2 = 4 ! C'est 2 !

pitchoune55
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par pitchoune55 » 05 Nov 2006, 20:15

je suis perdu...

Quidam
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par Quidam » 05 Nov 2006, 20:33

pitchoune55 a écrit:je suis perdu...


c) En déduire que les couples solutions sont les couples de la forme (n+u , n+v) où u et v sont tous les naturels tels que uv = n².

Ca, tu l'as fait !

Qu'en déduis-tu ? Qu'est-ce que u et v pour n² ? Ce sont des diviseurs de n² !

d) Si n² a d diviseurs dans N, donner le nombre de solutions de cette équation.

On te dit qu'il y a d diviseurs pour n². Mais le nombre des diviseurs d'un carré parfait est un nombre impair !
Il y a n, bien sûr : n*n=n²
Et les d-1 autres diviseurs sont soit plus grands que n soit plus petits.
Si p est un diviseur de n² plus grand que n alors, il existe q tel que pq=n², et forcément q<n (si q était plus grand que n, alors pq serait plus grand que n² !). Et forcément q est aussi un diviseur de n². Ainsi, tous les diviseurs de n² autres que n peuvent s'apparier, pq=n², avec l'un des deux plus grand que n et l'autre plus petit.
Donc le nombre de couples de couples différents d'entiers (p,q) tels que pq=n² est égal à (d-1)/2+1, puisque (d-1)/2 est le nombre de couples (p,q) que l'on peut faire avec p et q différents, et 1 correspond au couple (n,n) car n²=n*n.

Et (d-1)/2+1=(d+1)/2 !

Le nombre de solutions différentes du problème est donc (d+1)/2

Voilà !

pitchoune55
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par pitchoune55 » 08 Nov 2006, 16:50

ok merci j'ai eu du mal a comprendre. Et pour la derniere il y a normalement 10 couples...il faut les calculer aussi !?!

pitchoune55
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par pitchoune55 » 08 Nov 2006, 17:04

c bon g réussi je pense ! je trouve (7,72) (8,24) (9,18) (10,15) et (12,12) vs en pensez koi?

Quidam
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par Quidam » 08 Nov 2006, 19:38

pitchoune55 a écrit:c bon g réussi je pense ! je trouve (7,72) (8,24) (9,18) (10,15) et (12,12) vs en pensez koi?

Du bien, sauf le premier : 7 et 42 !

pitchoune55
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par pitchoune55 » 09 Nov 2006, 22:27

oui c bon j'ai ça en fete c'est une faute de frappe. Sinon je vous remercie pour votre aide c'était vraiment cool !

 

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