DM Spé math

[mathos92]

Bonjour, j'ai un DM en spécialité mathématique à faire et j'ai eu quelques problèmes :
Voilà l'énoncé :
Ex 1 :
1) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
2) La somme de quatre entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 4.
3) Déterminer tous les entiers naturels p tels que la somme de p entiers consécutifs soit toujours un multiple de p.

Ex 2 :
Parmi les 11 entiers, distincts deux à deux, montrer qu'il en existe toujours au moins deux dont la différence est un multiple de dix.

J'ai fait les deux premières questions de l'exercice 1.
Pouvez-vous m'aidez pour la dernière question de l'exercice 1 et l'exercice 2 svp !

[Kikoo <3 Bieber]

Bonjour, j'ai un DM en spécialité mathématique à faire et j'ai eu quelques problèmes :
Voilà l'énoncé :
Ex 1 :
1) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
2) La somme de quatre entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 4.
3) Déterminer tous les entiers naturels p tels que la somme de p entiers consécutifs soit toujours un multiple de p.

Ex 2 :
Parmi les 11 entiers, distincts deux à deux, montrer qu'il en existe toujours au moins deux dont la différence est un multiple de dix.

J'ai fait les deux premières questions de l'exercice 1.
Pouvez-vous m'aidez pour la dernière question de l'exercice 1 et l'exercice 2 svp !

Salut,

Pour généraliser le résultat, il faut que tu te fixes un nombre .
Tu as bien la somme de p entiers consécutifs qui vaut qui vaut :
Il faut montrer que

Edit : m**** je viens de te le montrer par la même occasion...
Edit 2 : Il faut montrer quand la congruence est vraie. Pour quelles valeurs de p ?

[Anonyme]

Comment as tu démontré les questions n°1 et n°2 ?

Pour la question n°3 : prends un nombre entier n quelconque
ajoute à ce nombre n+1 puis n+2 puis ..etc... puis n+(p-1)
et calcule n + (n+1) + (n+2) + ...... ( n+(p-1))

A quelle condition cette somme est divisible par p ?

[chan79]

Bonjour, j'ai un DM en spécialité mathématique à faire et j'ai eu quelques problèmes :
Voilà l'énoncé :
Ex 1 :
1) Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3.
2) La somme de quatre entiers consécutifs est-elle toujours un multiple de 4.
3) Déterminer tous les entiers naturels p tels que la somme de p entiers consécutifs soit toujours un multiple de p.

Ex 2 :
Parmi les 11 entiers, distincts deux à deux, montrer qu'il en existe toujours au moins deux dont la différence est un multiple de dix.

J'ai fait les deux premières questions de l'exercice 1.
Pouvez-vous m'aidez pour la dernière question de l'exercice 1 et l'exercice 2 svp !

salut
pour l'exo 2, est-ce que les 11 nombres peuvent avoir des chiffres des unités différents ?

[mathos92]

Merci pour vos réponses.
Pour l'exo 1 je ne peux pas utiliser de congruence.
& pour l'exo 2 quand vous dites a quelle condition cette somme est divisible par p ? et bien lorsque p est différent de 0 je pense.
Pour les 11 nombres, oui ils peuvent avoir des chiffres des unités différents.

[chan79]

Pour les 11 nombres, oui ils peuvent avoir des chiffres des unités différents.

tu peux énumérer des 11 chiffres différents ?

[Kikoo <3 Bieber]

Merci pour vos réponses.
Pour l'exo 1 je ne peux pas utiliser de congruence.
& pour l'exo 2 quand vous dites a quelle condition cette somme est divisible par p ? et bien lorsque p est différent de 0 je pense.

La congruence n'est qu'une manière de noter que p|machin ou encore machin=pk, k entier ou encore que machin est divisible par p ou que machin est multiple de p, etc.
Tu peux très bien t'en passer.

Réfléchis bien. Je t'ai donné l'expression de la somme, toute servie sur un plateau d'argent : p(p-1)/2
Quelles valeurs doit prendre p pour que p(p-1)/2 soit divisible par p ?

[mathos92]

p doit etre supérieur à 1.

[Kikoo <3 Bieber]

p doit etre supérieur à 1.

Oui, mais ça c'est superficiel.

[mathos92]

Je ne comprend pas. Par 2 ?

[Kikoo <3 Bieber]

Je veux dire que ok, on a forcément p supérieur ou égal à 1 car sinon p=-1 et bon, c'est pas vraiment utile, on travaille dans les positifs.
Sinon, p(p-1)/2; ça ne te gène pas une telle quantité en arithmétique ? Genre "ne jamais diviser en arithmétique !!!!" ça te dit rien ?
Bon, oui, c'est vrai que entre p et p-1, l'un des deux est pair, donc ça pose jamais de problème.
Mais réfléchis, si c'est p qui est pair, qu'est-ce que cela entraine ? Comment imposer p pour contourner le problème ?

[mathos92]

Oui si p est pair donc p-1 est impair ; mais ce que je ne comprend pas c'est comment obtient-on p(p-1)/2 ?

[Kikoo <3 Bieber]

Tu as bien la somme de p entiers consécutifs qui vaut qui vaut :

Voilà la réponse

[mathos92]

Donc p doit etre a la fois pair et supérieur a 1 c'est sa ?

[Kikoo <3 Bieber]

Donc p doit etre a la fois pair et supérieur a 1 c'est sa ?

Non et oui.
Justifie ta réponse et réfléchis bien !

[mathos92]

Supérieur a 1 pour que la parenthese (p-1) soit positive sinon on obtient un résultat négatif

[Kikoo <3 Bieber]

Supérieur a 1 pour que la parenthese (p-1) soit positive sinon on obtient un résultat négatif

Oui mais sachant que p(p-1) est pair, comment doit-on choisir p pour que p(p-1)/2 soit entier ?

[mathos92]

Il faut obtenir p(p-1) multiple de 2 pour qu'il soit entier

[Kikoo <3 Bieber]

Non dsl ce n'était pas ce que je voulais te dire exactement.
On sait que p(p-1)/2 est à coup sûr un entier. Si par contre il s'agit de p qui est pair, que peut-on dire de la divisibilité de p(p-1)/2 par p ?

[mathos92]

le résultat sera pair aussi ! cela revient au meme point