Spé TS ( encore une petite question et enfin résolu ) !

[kikou25]

Bonsoir j'ai encore malheureusement un petit souci dans mon exercice !

On me demande de : Montrer que si x est impair, l'équation 3^x=8+y² n'admet pas de solutions. :doh:

Je ne vois vraiment pas comment je dois faire pour résoudre cette question. :hein: Pourriez-vous m'aider svp !?
Merci à vous.
Cordialement Kikou.

[kikou25]

Petite précision !
Dans mon exercice avant d'avoir poser cette question on m'a demander de discuter selon les valeurs de l'entier x, à quoi est congru 3^x modulo 8 et de même avec l'entier y , à quoi est congru y² modulo 8.

Merci à vous .

[kikou25]

Personne n'a d'idée ?? :hum:

[Huppasacee]

Bonjour

si 2 nombres sont égaux , ils ont la même congruenc modulo n (pour tout n )
évident !

si x est impair, quelle est la congruence de 3^x modulo 8 ?

existe-t-il une valeur de y telle qu y² ait cette congruence ?
se rappeler les parités de tous les termes ?

conclusion ?

[kikou25]

Il faut que je remplace x par 1 , 3 , 5 et 7 car c'est les chiffres impair plus petit que 8 ! ???

Ensuite je dois voir dans quel cas je trouve la même congruence avec y² ??

C'est sa ou pas ??? :cry:

Merci ! ^^ :++:

[lapras]

3 = -1 [mod 4]
si n est impair,
3^n = (-1)^n = -1 [4]
8 = 0 [4]
donc on a :
y^2+8=-1[4] donc y^2=-1=3[4]
Maintenant regarde en essayant toutes les congruences de y poossibles si y^2 = 3 [4] est possible.

[kikou25]

Oula sa va vite avec vous !lol
Euh par hasard c'est pas modulo 8 ?? !

[lapras]

Modulo 4 suffit
reprenons
3 = 4-1
donc 3 = -1 [4]
en élevant a une puissance impaire, -1 reste -1
donc
3^n = -1 [4] (n impair)
Le truc est que si l'équation n'a pas de solutions modulo 4, alors elle n'en aura pas dans Z.
On veut résoudre :
3^x = y^2+8
regarde cette équation modulo 4
3^x = -1 [4]
mais 3^x = y^2+8 = y^2+4*2 = y^2 [4]
donc
3=-1 = y^2 [4]
Ce qui est impossible si tu testes toutes les valeurs de y (y=0,1,2,
3 mod 4)

[kikou25]

On veut résoudre :
3^x = y^2+8
regarde cette équation modulo 4
3^x = -1 [4]
mais 3^x = y^2+8 = y^2+4*2 = y^2 [4]
donc
3=-1 = y^2 [4]
Ce qui est impossible si tu testes toutes les valeurs de y (y=0,1,2,
3 mod 4)

Euh je dois faire sa :

1er Cas : y=0
0² = 0 [4]

2eme Cas : y=1
1² = 1 [4]

3eme Cas : y=2
2² = 4 = 0 [4]

4me Cas : y= 3
3² = 9 = 1[4]

Et je dit que l'équation n'admet pas de solutions car 3^x = -1 [4]
alors que 8+y² = 0 ; 1 =[4] !

Ouais j'ai réussie grace à vous merci beaucoup !

[kikou25]

Oh j'ai encore un soucis parce que là on a dit que l'équation n'a pas de solutions , mais dans la suite de mon exercice on me demande d'en déduire le couple solution de l'équation ( rappel : 3^x=8+y² ).
Avant de me demander cette question dans l'exercice on me demande : en posant x= 2X , factoriser 3^2X - y² et montrer que 3^X <= 8 .

Je ne vois vraiment pas quel peut-etre le facteur commun sauf peut-etre le ² mais on ne peut pas factoriser par des puissances! :triste:

Je ne vois pas comment on peut trouver un couple solution alors que juste avant on a dit que l'équation n'admet pas de solution . :hum:

Merci .
Cordialement Kikou.

[lapras]

si x est pair :
x = 2k
on a :
3^(2k) - y^2 = 8
or y^2 >= 0
donc
3^(2k) <= 8
aussi, reconnait l'identité :
(a²-b²)=(a-b)(a+b)
ce qui donne
(3^k - y)(3^k + y) = 8
identifie ensuite les facteurs aux diviseurs de 8

[kikou25]

si x est pair :
x = 2k
on a :
3^(2k) - y^2 = 8
or y^2 >= 0
donc
3^(2k) <= 8
aussi, reconnait l'identité :
(a²-b²)=(a-b)(a+b)
ce qui donne
(3^k - y)(3^k + y) = 8
identifie ensuite les facteurs aux diviseurs de 2008

Pourquoi 2008 ??
Le facteur commun ici c'est donc 3^k !?? Ah non je dois d'abord développer !?

[kikou25]

Ah non je dois pas développer !
Mais je fais quoi alors ??

[lapras]

Désolé, par habitude j'ai dit 2008, bien sur c'est '8'.

[kikou25]

Comme x<2 donc x= 0 ?? n'est-ce pas ??

[lapras]

Oui.
Sinon tu pouvais identifier les facteurs 3^k+y et 3^k-y comme diviseurs de 8 = 1*8=2*4 :we:

[kikou25]

Donc là on a trouvé que x maintenant je dois trouver y !?
Car dans ma question il fallait trouver le couple !

[kikou25]

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[lapras]

On pouvait raisonner modulo 4, mais si on te demande modulo 8, fait comme ca.
Donc il faut juste que tu dise que si x est impair,
3^x = 3 [mod 8] or pour tout y, y² différent de 3 [8] donc par de solution si x impair
Apres (question 4)) factorise et identifie les diviseurs de 8

[kikou25]

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