TS spé - Devoir Maison - Critères de divisibilité

[july26]

Bonjour,
j'ai un devoir à faire concernant les critères de divisibilité et je voudrais savoir si ma démarche est juste.

Soit k un entier naturel. Quel est le reste de la division euclidienne de 10^k par 2? En déduire N congru à A0 modulo 2, puis que N est divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est un multiple de 2.

Voici ma réponse : le reste de la division euclidienne de 10^k par 2 est 0 puisque le chiffre des unités est 0 ( d'après le critère de divisibilité par 2). On a donc 10^k congru à 0 modulo 2 et donc 10^k + A0 congru à A0 modulo 2.
La suite de la réponse est-elle correcte?
10^k + A0 congru à A0 modulo 2 et 10^k est congru à 0 modulo 2, donc 10^k et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2, donc A0 = 2q +0, donc A0 est un multiple de 2 et par conséquent, N (= 10^k + A0) est divisible par 2 A0 est un multiple de 2.

Merci d'avance.

[leon1789]

Bonjour,
j'ai un devoir à faire concernant les critères de divisibilité et je voudrais savoir si ma démarche est juste.

Soit k un entier naturel. Quel est le reste de la division euclidienne de 10^k par 2? En déduire N congru à A0 modulo 2, puis que N est divisible par 2, si et seulement si son chiffre des unités est un multiple de 2.

Voici ma réponse : le reste de la division euclidienne de 10^k par 2 est 0 puisque le chiffre des unités est 0

ok .

(mais pas pour ).

La suite de la réponse est-elle correcte?
10^k + A0 congru à A0 modulo 2 et 10^k est congru à 0 modulo 2, donc 10^k + A0 et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2, donc ??? A0 = 2q +0, donc A0 est un multiple de 2 et par conséquent, N (= 10^k + A0) est divisible par 2 A0 est un multiple de 2.

A partir des ???, je ne comprends plus.
Quelles sont tes hypothèses ? tes conclusions ? c'est pas clair clair tout ça.

[july26]

Je pense que je me suis trompée. Ou alors je n'ai probablement rien compris, comme d'habitude. Donc, 10^k + A0 congru à A0 modulo 2 et 10^k est congru à 0 modulo 2, donc 10^k et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2 d'après la définition des congruences, donc A0 = 2q + 0 (il s'agit de la division euclidienne de A0 par 2). A0 est un multiple de 2. N qui est égal à 10^k + A0 est donc divisible par 2 si et seulement si A0 est un multiple de 2. Je trouve cette conclusion un peu prématurée par rapport à ma démonstration, mais je ne sais pas quel est l'élément manquant.

[leon1789]

Je pense que je me suis trompée. Ou alors je n'ai probablement rien compris, comme d'habitude. Donc, 10^k + A0 congru à A0 modulo 2 et 10^k est congru à 0 modulo 2, donc 10^k et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2 d'après la définition des congruences

10^k = A0 modulo 2, tu es sûr ? Tu es en train de prouver que tout chiffre A0 est congru à 0 modulo 2, c'est ça ?

[july26]

Je veux dire que N qui est égal à 10^k + A0 est congru à A0 modulo 2.
En fait, je pensais que si je partais du fait que 10^k + A0 est congru à A0 modulo 2 et que sachant que 10^k est congru à 0 modulo 2 alors je pourrais conclure que 10^k et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2, c'est à dire 0. Par conséquent A0 = 2q, c'est à dire que A0 est un multiple de 2. Et conclusion, N est divisible par 2 si et seulement si A0 est un multiple de 2.

[leon1789]

Je veux dire que N qui est égal à 10^k + A0 est congru à A0 modulo 2.
En fait, je pensais que si je partais du fait que 10^k + A0 est congru à A0 modulo 2

ça c'est ok.

et que sachant que 10^k est congru à 0 modulo 2

ça tu t'en sers pour démontrer la ligne au-dessus !!!

alors je pourrais conclure que 10^k et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2, c'est à dire 0.

ben nan.

[july26]

Peut-être vaudrait-il mieux que je reprenne tout du début, autant pour vous que pour moi, car je dois avouer que je commence un peu à me perdre dans ma démonstration.
Je vais tenter de rendre ma démonstration la plus claire possible.
(Soit k un entier naturel. Quel est le reste de la division euclidienne de 10^k par 2?)
- Si k = 0, alors 10^k = 1 et 1 = 2*0 + 1. Donc r = 1
- Si k >= 1, alors 10^k = 2*q + 0 avec q entier.
Donc, si k est supérieur ou égal à 1, r = 0.
(En déduire que N est congru à A0 (mod 2) puis que N est divisible par 2 si, et seulement si, son chiffre des unités est un multiple de 2.)
Soit N = 10^k + A0. On a 10^k congru à 0 (mod 2). Donc N est congru à A0 (mod 2).
A0 et 10^k ont le même reste dans la division euclidienne par 2, donc on a AO = 2q' + 0 avec q entier. Donc A0 est un multiple de 2. Donc N est divisible par 2 si et seulement si A0, le chiffre des unités, est un multiple de 2.

J'espère avoir été un peu plus compréhensible dans ma démonstration, sachant que je m'aperçois qu'elle est fausse et que je ne sais pas comment corriger mes erreurs...

[july26]

Citation:
Posté par july26
Je veux dire que N qui est égal à 10^k + A0 est congru à A0 modulo 2.
En fait, je pensais que si je partais du fait que 10^k + A0 est congru à A0 modulo 2



ça c'est ok.


Citation:
Posté par july26
et que sachant que 10^k est congru à 0 modulo 2


ça tu t'en sers pour démontrer la ligne au-dessus !!!


Citation:
Posté par july26
alors je pourrais conclure que 10^k et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2, c'est à dire 0.



ben nan.




Alors c'est que N et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2. Mais je ne vois pas quoi faire de cet élément. Je ne peux pas conclure que A0 est un multiple de 2 et que son reste est 0 partant de cette formule...

[leon1789]

(...)
Soit N = 10^k + A0. On a 10^k congru à 0 (mod 2). Donc N est congru à A0 (mod 2).

oui, ça c'est juste.

A0 et 10^k ont le même reste dans la division euclidienne par 2

nan :triste: pourquoi crois-tu cela ? d'où le tiens-tu ?

Alors c'est que N et A0 ont le même reste dans la division euclidienne par 2.

oui, ça tu l'as prouvé : c'est la même chose que dire N est congru à A0 (mod 2).

Mais je ne vois pas quoi faire de cet élément. Je ne peux pas conclure que A0 est un multiple de 2 et que son reste est 0 partant de cette formule...

mais A0 n'est pas toujours un nombre pair....

Il faut prouver que A0 est pair si et seulement si N l'est.
Or ceci est clair puisqu'ils sont congrus modulo 2 , comme tu l'as prouvé !

Et enfin A0 est (un chiffre) pair si et seulement A0 = 0,2,4,6,8 cqfd

Non ?

[july26]

Très bien, je vous remercie.

[leon1789]

pas de quoi :zen:

[july26]

Nouvelle question. Cette fois-ci je bloque sur la démonstration de la divisibilité par 4. Est-ce que mon raisonnement est correct?
On pose N= Ak*10^k + A(k-1)*10^(k-1)+…+ A1*10+A0

Pour k=0, r=1
Pour k=1, r=2
Pour k>=2, r=0
Donc, si k>=2, 10^k = 0 [4], 10^(k-1) = 0 [4], ..., 10² = 0 [4]
Donc, 10^k + 10^(k-1) + ... + 10² = 0 [4]
Donc, Ak*10^k + A(k-1)*10^(k-1)+…+ A210² = 0 [4]
Et Ak*10^k + A(k-1)*10^(k-1)+…+ A1*10+A0 = A1*10+A0 [4]
On a bien N = A1*10+A0 [4]

[july26]

Personne pour m'aider?