TS: Spé Congruences/Divisibilité/Numération

par **Rockleader** » 10 Déc 2011, 13:54

Bon je vous appele à l'aide, je suis devant un exercice, et je ne sais pas du tout comment faire...de plus j'ai du mal avec les congruences.

1-

k étant un entier naturel, montrez que:

(tout les = sont des congruences)

10^6k=1 [7]
10^(6k+2)= 2 [7]

Et vu que l'on doit montrer qu'ils sont tous congru à 7 je vais pas répéter.

10^(6k+4)=-3
10^(6k+1)=3
10^(6k+3) = -1
10^(6k+5) = -2

2-

On considère le nombre abcdefghi écrit en base 10.
Montrez que ce nombre est congru modulo 7 à:

(i+3h+2g) - (f+3e+2d) + (c+3b+2a)

En déduire que ce nombre est divisible par 7 si et seulement si:

(i+3h+2g) - (f+3e+2d) + (c+3b+2a) est un multiple de 7

3- Application (ici je pense que je pourrais m'en sortir, mais c'est surtout pour les deux premières questions que j'aurais besoin d'aide)

Les nombres suivant sont il divisible par 7

N1= 325 412
N2= 221 325 412
N3=9 324
N4= 504 324 156

Merci de votre aide à tous.

par **nodjim** » 10 Déc 2011, 14:11

Pour le 1, ça me semble assez clair, il faut faire le calcul, où est le problème ?

par **nodjim** » 10 Déc 2011, 14:12

le 2 est la conséquence directe du 1

par **nodjim** » 10 Déc 2011, 14:12

le 3 est la continuité de l'exercice, et son application

par **Rockleader** » 10 Déc 2011, 15:11

nodjim a écrit:Pour le 1, ça me semble assez clair, il faut faire le calcul, où est le problème ?

Ok, tu pourrais me donner un exemple, pour le premier...parce que je vois pas trop là...

par **nodjim** » 10 Déc 2011, 15:30

10=3 modulo
10²=3*3=9=2 modulo 7
10^3=10²*10=2*3=6
continue
Ce qu'il y a de formidable avec les congruences, c'est qu'on peut les soustraire, multiplier et additionner (ça se démontre facilement) mais surtout pas les diviser!

par **Rockleader** » 10 Déc 2011, 15:44

Bah en fait ça j'ai bien compris, de même que j'ai compris comment démontrer toutes les congruences, mais pour ça il me faut un point de départ et c'est ça que je n'arrive pas à trouver.

Toi tu es partie du fait que 10 = 3 modulo 7; mais je ne sais pas à partir de quoi je dois commencer....

Une fois que j'ai trouvé le premier tout est pareil mais encore faut il trouver le premier :p

par **nodjim** » 10 Déc 2011, 17:13

10=3 mod 7 car le reste de la division par 7 de 10 est 3.

par **Rockleader** » 10 Déc 2011, 17:27

nodjim a écrit:10=3 mod 7 car le reste de la division par 7 de 10 est 3.

Mais ça on peut l'affirmer comme ça ? Il n'y a rien à démontrer pour partir de ça ?

Bon ok alors merci.

par **nodjim** » 10 Déc 2011, 17:47

C'est la définition de la congruence, il n'y a donc rien à démontrer.

par **Rockleader** » 11 Déc 2011, 10:03

Il y a quand même un truc que je ne comprends pas.

Si j'admets que

10 est congru à 3 modulo 7 et 10^6k est congru à 1 modulo 7

Alors:

10^(6k+1) devrait être congru à 4 modulo 7 et non à 3...

par **annick** » 11 Déc 2011, 10:37

Bonjour,
Non, car 10^(6k+1)=10^6k x 10^1 donc congru à 3 x 1=3

par **Rockleader** » 11 Déc 2011, 10:40

Ah ok, je pensais que l'on additionnait...

Bon ok, alors je devrais m'en sortir pour les démontrer.

il n'y a que le premier qui me bloque, je susi obligé de l'admettre pour démontrer les autres...

par **nodjim** » 11 Déc 2011, 10:45

C'est drôle tu butes sur ce qui est le plus facile en fait.
10=3 mod 7 car 10/7=1 et reste 3. C'est la définition même de la congruence. Je le répète, rien à démontrer.
Pour voir si tu as compris, que vaut 3721 modulo 43 ?

par **Rockleader** » 11 Déc 2011, 14:00

23 modulo 43 ?

par **nodjim** » 11 Déc 2011, 15:02

Ok ça marche

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