DM : "Au sommet". Lieu de points, fonction

[Baste965]

Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide pour un DM s'il-vous-plaît.

I) CONSTRUCTION
A l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, réaliser la configuration suivante :
- Tracer le cercle C de centre l'origine O et de rayon 3
- Placer sur le cercle C un point libre M
- Tracer la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par M que l'on nomme d
- Tracer la perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par M que l'on nomme t, on appelle N le point d'intersection de t avec l'axe des ordonnées
- Placer le point A de coordonnées (-3,0)
- Tracer la droite (AN) et placer le point P intersection de (AP) et d

On s'intéresse au lieu des points P lorsque le point M parcourt le demi cercle supérieur (les points du cercle dont l'ordonnée est positive ou nulle)
- En activant la trace de P, représenter le lieu des points P

II) CONJECTURES
On admet ici que le lieu des points P est la courbe représentative d'une fonction f.
1) Quelles coordonnées d'extremum peut-on conjecturer pour la fonction f ?
2) Que peut-on conjecturer concernant la dérivabilité de f à droite de -3 ?
3) Que peut-on conjecturer concernant la dérivabilité de f à gauche de 3 ?
4) Peut-on conjecturer l'existence d'un point de la courbe tel que la tangente en ce point traverse la courbe ?

III) DEMONSTRATION DES CONJECTURES
1) On considère le point M de coordonnées : (3cost ; 3sint), t étant un nombre réel. Quel est l'ensemble décrit par M lorsque t appartient [0, pi] ?
2) Démontrer que le lieu des points P est la courbe représentative de la fonction f définie par
f(x) = 1/3(x+3)V(9-x²) avec x appartient à [-3 ; 3]
3) Démontrer les conjectures du 1, 2, 3
4) Théorème : la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente en un point (x0 ; f(x0)) si et seulement si la dérivée seconde de f s'annule et change de signe en x0. On appelle alors ce point un point d'inflexion de la fonction f.
En utilisant ce théorème, démontrer la conjecture du 4).

Voilà.
J'ai donc réalisé la construction sur géogébra.
J'ai démarré, mais je ne suis pas très sûre de mes réponses et je bloque aux démonstrations.

II) 1) Coordonnées : (1.5 ; 3.9)
2) Dérivable à droite de -3 et f'(-3)=0
3) Non dérivable à gauche de 3.
4) Oui: le point I de la courbe d' abcisse -1.1


Pensez-vous que je dois les justifier ?

III) 1) Demi-cercle trigonométrique sur [0 ; pi]

Je n'arrive pas à faire la suite. Merci beaucoup si vous pouvez m'aider.


http://s2.noelshack.com/uploads/images/1469583976905_forum_345596_1.png Voici la figure.