Sommes de 13 et 7

[Vanuatu]

Bonjour à tous,

voilà une petite énigme qui m'a été posée.

Dans un pays, il n'existe que des pièces de 7 et de 13 €. De plus les commerçants de ce pays ne rendent pas la monnaie.

A partir d'un certains seuil A, toute les sommes entières peuvent être payées avec ces pièces, c'est-à-dire qu'on peut payer A ; A+1 ; A+2 A+3; A+13000; ...

Seulement je ne parviens pas à calculer se A. Quelqu'un peut-il m'aider?

Merci d'avance
Vanuatu

[Clembou]

Bonjour à tous,

voilà une petite énigme qui m'a été posée.

Dans un pays, il n'existe que des pièces de 7 et de 13 €. De plus les commerçants de ce pays ne rendent pas la monnaie.

A partir d'un certains seuil A, toute les sommes entières peuvent être payées avec ces pièces, c'est-à-dire qu'on peut payer A ; A+1 ; A+2 A+3; A+13000; ...

Seulement je ne parviens pas à calculer se A. Quelqu'un peut-il m'aider?

Merci d'avance
Vanuatu

Il faut trouver un nombre A tel qu'il est divisible par 7 et par 13 en même temps...

[Vanuatu]

Donc 7x13 ??? ça me parait un peu facile et je suis pas sur que ça marche.

Ou ai-je mal compris?

[Clembou]

Bonjour à tous,

voilà une petite énigme qui m'a été posée.

Dans un pays, il n'existe que des pièces de 7 et de 13 €. De plus les commerçants de ce pays ne rendent pas la monnaie.

A partir d'un certains seuil A, toute les sommes entières peuvent être payées avec ces pièces, c'est-à-dire qu'on peut payer A ; A+1 ; A+2 A+3; A+13000; ...

Seulement je ne parviens pas à calculer se A. Quelqu'un peut-il m'aider?

Merci d'avance
Vanuatu

Heu... moi je n'ai pas compris un truc. Tu veux calculer A tel qu'on peut payer A,A+1,A+2,...,A+13000 mais ce n'est pas précisé avec ou sans rendu de monnaie (parce que si on trouve A tel qu'on peut payer ça avec toutes les pièces alors en A+1 on aura un rendu de monnaie (qu'on aura pas)...

[Vanuatu]

Je reconnais que c'est pas clair.

Je vais essayer autrement.

X est un entier superieur ou egal à A.

On doit trouver A tel que tout X puisse être obtenu avec des pièces de 7 et de 13 € sans que le commerçant rende de monnaie.

C'est plus compréhensible?

[Clembou]

Je reconnais que c'est pas clair.

Je vais essayer autrement.

X est un entier superieur ou egal à A.

On doit trouver A tel que tout X puisse être obtenu avec des pièces de 7 et de 13 € sans que le commerçant rende de monnaie.

C'est plus compréhensible?

Ah ! C'est quand même mieux ! Je vais réfléchir mais je pense que c'est impossible de le trouver...

[Blueberry]

Bonsoir,

Si tu prends A >= 84 (7 fois 12) alors tu es sure de pouvoir faire toutes les sommes suivantes A+1, A+2 etc...
Maintenant peux-on faire mieux, cela reste à voir.

[Vanuatu]

Merci, ça me donne déjà une base.

Mais comment as-tu trouvé 84??

En tout cas, déjà merci à tous pour votre aide.

[lapras]

Salut,

Oui 87 est divisible par 7 et 12 mais 88 non donc on peut pas le payer que avec des piècs de 7 et 12 euros, je me trompe ?

[Vanuatu]

Euh, je signale qd même que c'est 7 et 13.

Donc j'ai pensé à 91, mais ça m'étonnerai...

Pour lapras : 20 non plus n'est pas divisible par 7 et 13, pourtant on peut le payer...

[Clembou]

Merci, ça me donne déjà une base.

Mais comment as-tu trouvé 84??

En tout cas, déjà merci à tous pour votre aide.

Il doit y avoir un rapport avec les équations diophantiennes.

[Blueberry]

Non désolé ce n'est pas encore au point j'ai fait une erreur.

[Vanuatu]

Blueberry > Oui, oui, je m'en suis rendu compte.

Clembou > les équations diophantiennes... on a jamais vu ça et je ne sais même pas ce que c'est...

[Blueberry]

Bon alors là c'est ok :

A partir de A=13 fois12 tu peux faire tous les suivants.

Déja 13 fois 12 c'est bon. Le suivant tu ajoutes 2 fois 7 et tu enlèves 13 c'est bon
et ainsi de suite jusqu'à 13 fois 13. Là tu recommences (tu enlèves 13 et ajoute 2 fois 7....jusqu'à 13 fois 14 etc...)

[lapras]

Comment tu as trouvé 13 * 12?

[Vanuatu]

Merci beaucoup!

Mais j'ai pas tout à fait bien compris pourquoi 12?
Comment démontres tu que 12x13 peut être obtenu avec des sommes de 7 et 13?

[Blueberry]

Car pour passer d'un multiple de 13 au suivant il y aura 12 nombre qui ne seront pas des multiples de 13.

[Vanuatu]

Désolé, mais je comprend toujours pas...

[Blueberry]

Soit B >=A. On a donc B>= 13fois12.

* Si B est un multiple de 13 alors on peut payer avec des pièces de 13.

* Sinon on fait la division euclidienne :

B = 13*q + r avec q >= 12 et 0 < r < 13

alors B = 13*(q -r) + r*2*7 (développe, tu retrouveras bien B)

On peut donc payer le commerçant avec q - r pièces de 13 et 2r pièces de 7

[Vanuatu]

Ok, merci infiniement!