Somme surprenante

[malack]

Bonjour , mon cousin m'a dit que 1+4+8+16...=-1
je lui est dit que c'est impossible puisque c'est des chiffres qui appartiennent a ]0;+infini[ et si on additionne des chiffres positifs sa va faire qu'augmenter
sa m'a troublé :mur: , est-ce que c'est possible ?
merci d'avance

[Sylviel]

En un sens il a raison. Mais comprendre pourquoi on peut, dans un cadre très particulier, donner du sens à cette formule est assez compliqué... Je peux essayer de t'expliquer mais il faut être motivé !

[globule rouge]

Bonjour , mon cousin m'a dit que 1+4+8+16...=-1
je lui est dit que c'est impossible puisque c'est des chiffres qui appartiennent a ]0;+infini[ et si on additionne des chiffres positifs sa va faire qu'augmenter
sa m'a troublé :mur: , est-ce que c'est possible ?
merci d'avance

Salut =)
Ton cousin ne sait pas de quoi il parle ou s'est-il simplement bien marré ^^
Tu remarques que qui vaut et comme la suite diverge, alors cette somme tend vers l'infini quand n tend vers l'infini (), et non vers -1

Julie

Sylviel : Ca a un sens ??! :doh:
Je veux savoir pourquoi !! ;D

[malack]

Salut =)
Ton cousin ne sait pas de quoi il parle ou s'est-il simplement bien marré ^^
Tu remarques que qui vaut et comme la suite diverge, alors cette somme tend vers l'infini quand n tend vers l'infini (), et non vers -1

Julie

Sylviel : Ca a un sens ??! :doh:
Je veux savoir pourquoi !! ;D

c'est a peu près se que je lui est dit ! et merci à tous

[vincentroumezy]

Salut =)
Ton cousin ne sait pas de quoi il parle ou s'est-il simplement bien marré ^^
Tu remarques que qui vaut et comme la suite diverge, alors cette somme tend vers l'infini quand n tend vers l'infini (), et non vers -1

Julie

Sylviel : Ca a un sens ??! :doh:
Je veux savoir pourquoi !! ;D

Tu t'es un peu compliqué la vie, j'aurais simplement dit que si on additionne des termes positifs, on obtiendra forcment un terme positif.

[Sylviel]

@Dlzlogic : cette explication très informatique me semble peu probable. En revanche cet exemple est souvent donné dans des cours de maths pour marquer les esprits (prolongement de fonctions holomorphes etc)

Sinon ce n'est pas mon domaine d'expertise, mais, le plus simplement possible je dirais que :

1 + q + q² + q^3... = 1/(1-q) si |q|=1, et dans ce cas on a, pour q = 2 :
1+2+4+8+16+... = -1
:we:

Du coup j'ai bien pris des gants pour dire : dans un certain sens, on peut écrire ce genre de chose. A ma connaissance on ne l'écrit qu'à des buts pédagogique...
(Par contre on utilise et étudie effectivement les prolongements de ces fonctions. En particulier la fonction zeta de Riemann est peut-être la fonction la plus étudiée des mathématiques...)

Si vous avez des questions n'hésitez pas ! Mais je ne garantie pas la réponse...

[malack]

Bonjour , mon cousin m'a dit que 1+4+8+16...=-1
je lui est dit que c'est impossible puisque c'est des chiffres qui appartiennent a ]0;+infini[ et si on additionne des chiffres positifs sa va faire qu'augmenter
sa m'a troublé :mur: , est-ce que c'est possible ?
merci d'avance

Je l'ai trouver mais je sais pas comment l'écrire :
1+2+4+8...=2^0+2^1+2^2+2^3=somme de n=2 pour infinie de 2^n et d'après le mathématicien Leonhard Euler on peut dire que :
somme de n=2 pour infinie de 2^n = 1/1-x et on a dans se cas x=2 donc 1/1-2=1/-1=-1

[vincentroumezy]

Tu ^peux apprendre le LaTeX en suivant le lien "Ecrire de blles formules mathmétiques, en haut de la section lycée.

[malack]

Tu ^peux apprendre le LaTeX en suivant le lien "Ecrire de blles formules mathmétiques, en haut de la section lycée.

il n'a pas de lien

[vincentroumezy]

Par ici: http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php

[malack]

Par ici: http://www.maths-forum.com/ecrire-belles-formules-mathematiques-balises-tex-70548.php

ok Merci beaucoup

[malack]

ok Merci beaucoup

2^0 + 2 + 2^2 + 2^3 = =
et apres il suffit de calculer

[vincentroumezy]

Tu as oublié les balises [tex]

[malack]

Tu as oublié les balises [tex]

ahh oui merci sa a marcher

[st00pid_n00b]

1 + q + q² + q^3... = 1/(1-q) si |q|=1, et dans ce cas on a, pour q = 2 :
1+2+4+8+16+... = -1
:we:

Quelque chose m'échappe... cette formule n'est pas une définition et se démontre pour |q|<1. Comment peut-on décider de l'étendre? As tu des mots clé à chercher si je veux en savoir plus?

[vincentroumezy]

Je crois qu'il s'agit d'un prolongement analytique, à confirmer.

[Sylviel]

C'est le principe du prolongement de fonction holomorphe.

Sous réserve (parce que mon analyse complexe est un peu rouillée :-/ )
Tu définis sur le disque unité de C la fonction . Elle est holomorphe sur le disque (ouvert). On peut la prolonger (de manière unique) à C privé de {1}, qu'on note également f (alors qu'on devrait la noter différement). Et après on "s'amuse" à écrire f(2) à la fois sous sa valeur et sous son expression uniquement définie sur le disque unité.

Encore une fois cette écriture n'a de sens que d'un point de vue pédagogique (et historique), mais l'étude du prolongement holomorphe d'une série entière de rayon de convergence fini a lui beaucoup de sens.

P.S : je t'ai mis en gras les mots clefs, car je ne connais pas ton background...

edit : oui prolongement analytique est synonyme (et plus courant) de prolongement holomorphe (enfin pour les fonction à variable complexe, après...)

[vincentroumezy]

Comme tu le disais, pour , le prolongement analytique est indispensable.

[globule rouge]

@Dlzlogic : cette explication très informatique me semble peu probable. En revanche cet exemple est souvent donné dans des cours de maths pour marquer les esprits (prolongement de fonctions holomorphes etc)

Sinon ce n'est pas mon domaine d'expertise, mais, le plus simplement possible je dirais que :

1 + q + q² + q^3... = 1/(1-q) si |q|=1, et dans ce cas on a, pour q = 2 :
1+2+4+8+16+... = -1
:we:

Du coup j'ai bien pris des gants pour dire : dans un certain sens, on peut écrire ce genre de chose. A ma connaissance on ne l'écrit qu'à des buts pédagogique...
(Par contre on utilise et étudie effectivement les prolongements de ces fonctions. En particulier la fonction zeta de Riemann est peut-être la fonction la plus étudiée des mathématiques...)

Si vous avez des questions n'hésitez pas ! Mais je ne garantie pas la réponse...

C'est très intéressant, Sylviel =)

Cependant, au vu des conditions préalables (on peut négliger le quand , ? Ca me semble anti-mathématique ^^ Peut-être ne suis-je cependant pas apte à le comprendre maintenant !

Julie

[st00pid_n00b]

@Sylviel: Merci de ta réponse. Mon background: j'ai étudié les maths à la fac (DEA d'algorithmique) mais ça remonte, notamment l'analyse complexe j'ai tout oublié...

Je comprend mieux maintenant: le prolongement analytique est unique, mais la formule n'est valable que sur le disque unité. C'est un abus de notation que de l'écrire pour x=2, non?

Puisque tu parlais de zêta, on peut aussi la définir par pour . Son prolongement analytique est unique et permet de trouver .

Par le même abus de notation on a: 1+2+3+4+... = -1/12