Somme suite arithmétique

[Luc6]

Bonjour, alors j'ai un serieux problème, j'ai fouillé partout depuis pas mal de temps en vain.
C'est surement simple:

Soit (un)€N une suite arithmétique. Montrer que

Un = Uk + (Uk+1) + ... + (Uk+p) = (Uk + Uk+p) (P+1) /2

J'ai tenté de posé
Un = a +nr

Faire une initialisation au rang k=2, avec,
U0=a
U1=a+r
U2=a+2r

J'ai vérifié l'égalité. Donc Pn est vrai jusqu'au rang k=2

Ensuite de tente de faire l'hérédité.

Un+1 = Un + Uk+p+1

Et je bloque...

Merci d'avance de votre éclairage.

[eriadrim]

Tu veux calculer
Déja, tu peux arranger un peu ta somme pour la rendre plus facile a calculer :



Du coup tu es ramené a deux somme : la première p+1.
Pour calculer la deuxième, la meilleur solutions est de se ramener au cas k = 1 pour ça tu dis simplement :

Ensuite, le plus simple (surtout le plus visuel) c'est d'inverser la somme :

1 + 2 + 3 ... + n (normal)
n + (n-1) + .... + 1 (inversé)

et tu additionne les deux sommes

1 + 2 + ... + n (normal)
n + (n-1) + .... + 1 (inversé)
(n+1) + (n+1) + .....+ (n+1) (somme des deux lignes)

Tu obtiens donc 2 fois la somme égal à (n+1) fois n.

En reportant au dessus :



Maintenant a toi de voir si tu peux simplifier ceci pour arriver au résultat :lol3:

J'ai surement été imprécis sur certain point, donc si tu as besoin de plus de détail n'hésite pas

[Luc6]

[quote="eriadrim"]Tu veux calculer
Déja, tu peux arranger un peu ta somme pour la rendre plus facile a calculer :



Du coup tu es ramené a deux somme : la première p+1.



Comment tu passes de la première somme a p+1?

Je suis largué dès la simplification de la somme.

[Luc6]

J'ai trouvé une autre solution. BEAUCOUP plus simple.

Mais je suis intéressé par cette méthode. J'aimerais la comprendre.

[eriadrim]

L'idée de la simplification est de séparer le problème :

tu veux faire la somme S = (a + kr) + (a + (k+1)r) + ... + (a + (k+p)r)
pour simplifier, on "réarrange" notre somme : on met les "a" d'un coté et les termes en "r" de l'autre :

S = (a + a + a + .... + a) + (kr + (k+1)r + .... + (k+p)r)

Ensuite tu factorise

S = a*(1 + .... + 1) + r*(k + (k+1) + .... + (k+p))

On voit donc bien apparaitre deux sommes : la première qui est 1 + 1 + .... + 1 le tout p + 1 fois, donc égal à p+1 :

S = a*(p+1) + r*(k + (k+1) + .... + (k+p))

Pour la deuxième somme, on dit que k + (k+1) + .... + (k+p) = (1 + ..... + (k+p)) - (1 + ... + (k-1))
Il suffit donc de connaitre la somme des n premiers nombres pour trouver le deuxième somme.

C'est donc la qu'intervient le petit coté visuel, c'est pour calculer la somme des nombres de 1 à n pour l'appliquer à notre cas.



Il y a aussi une petite astuce qui permet de simplifier un peu le calcul avant :
C'est au lieu de considérer que U(k+j) = a + (k+j)r, c'est de considérer que U(k+j) = U(k) + jr

Dans ce cas, en reprenant les étapes précédentes, on arrive à :
S = (p+1)U(k) + r*(0 + .... + p) = (p+1)U(k) + r*(1 + ... + p)