Somme de nombre impair

[youkef-sne]

Salut,
Je dois prouver que 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)^2
Pour l'instant, voila ce que j'ai fait:

Initialisation : Pour n=0, On a : 2 \times 0 + 1 = 0 + 1 = 1, La propriété est donc initialisée.

Hérédité: Supposons que cette propriété soit vrai au rang p, on a alors:
1 + 2 + ... + (2p+1) = (p+1)^2. Démontrons que cette propriété est héréditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1 :
1 + 2 + 3 + .... + (2p+1) + (2p + 3) = (p+1)^2 + p+1

Mais après j'sais pas comment faire ? Votre aide serait la bienvenue :-)

[Thomas Joseph]

Salut,
Je dois prouver que 1 + 3 + 5 + ... + (2n+1) = (n+1)^2
Pour l'instant, voila ce que j'ai fait:

Initialisation : Pour n=0, On a : 2 \times 0 + 1 = 0 + 1 = 1, La propriété est donc initialisée.

Hérédité: Supposons que cette propriété soit vrai au rang p, on a alors:
1 + 2 + ... + (2p+1) = (p+1)^2. Démontrons que cette propriété est héréditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1 :
1 + 2 + 3 + .... + (2p+1) + (2p + 3) = (p+1)^2 + p+1

Mais après j'sais pas comment faire ? Votre aide serait la bienvenue

C'est ce que j'ai noté en rouge qui est faux.
(p+2)²=((p+1)+1)² ... il ne te reste plus qu'à appliquer une identité remarquable pour finir.

[youkef-sne]

J'ai rien compris !

[Thomas Joseph]

Tu dois prouver la propriété au rang (p+2), c'est à dire que :
1 + 3 + 5 + ... + (2p+1)+(2p+3) = (p+1+1)^2

C'est un calcul de ce (p+1+1)^2 que je t'ai proposé dans mon précédent post

[youkef-sne]

Tu dois prouver la propriété au rang (p+2), c'est à dire que :
1 + 3 + 5 + ... + (2p+1)+(2p+3) = (p+1+1)^2

Je ne suis pas d'accord avec ce que tu as écris.
Je pense que ce que je dois faire c'est:
1 + 2 + ... + (2p+1) + (2p+3) = (p+1)^2 + p+1
Mais après j suis bloqué, sauf si ce que je propose de faire est faut.

[paquito]

1+3+5+.....;+(2n+1)=(n+1)²; c'est l'hypothèse de récurrence,
d'où 1+3+5+.....+(2n+1)+(2n+3)=(n+1)²+2n+3=n²+4n+4=....

[annick]

Bonjour,

sinon, on peut aussi utiliser le fait que 1+3+5+.....+(2n+1) est la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme u0=1 et de raison 2

Le terme un= u0+nr et la somme des n premiers terme est égale à (n+1)(u0+un)/2

Si tu calcules Sn, tu retombes bien ce que tu dois trouver.

[youkef-sne]

Ah ouai merci les gars je vien d'capter !

[Thomas Joseph]

Je ne suis pas d'accord avec ce que tu as écris.
Je pense que ce que je dois faire c'est:
1 + 2 + ... + (2p+1) + (2p+3) = (p+1)^2 + p+1
Mais après j suis bloqué, sauf si ce que je propose de faire est faut.

Comme je te l'ai déjà dit, ce que j'ai mis en rouge est faux
... mais bon, si tu insistes ...
je jette l'éponge.

[youkef-sne]

Je viens de comprendre mon erreur thomas merci beaucouo :)