Somme et factorielle TS

[Sake]

Maintenant je dois déterminer le sens de variation de U_n et V_n. Pour ça j'ai une petite idée : je fais U_(n+1)-U_n --> je regarde si c'est positif ou négatif et ensuite comme U_n =< V_n je me sers de je ne sais plus quel théorème qui dis que U_n impose son sens de variation (y'a aussi une histoire de limite mais c'est dans une autre partie de mon exo)

Ici, il serait plus judicieux de calculer U_(n+1)/U_n

[Sake]

Je suppose que certaine valeur vont s'annuler. La première partie de mon exercice utilisait excel pour calculer les 20 premiers termes de U_n et V_n. En conjecturant ces résultats j'ai remarqué que les deux suites étaient toutes lees deux croissantes donc je sais que je trouverai forcément U_n et V_n positive (donc croissantes ?)

Attention, tu confonds pas mal de choses. Une suite positive n'est pas forcément tout le temps croissante.
Par contre, il est assez facile de connaître la monotonie de (U).

Je retire ce que j'ai dit plus haut. Je n'avais pas regardé l'énoncé de nouveau et j'ai cru que (U) était définie comme étant la suite des factorielles. Il est tout à fait indiqué de calculer U_(n+1) - U_n et d'en déduire le sens de variation de la suite (U). Pour (V), ce sera pareil.

[Sake]

Je trouve pour U_(n+1)-U_n. 1/(n+2)! + 1/(n+1)! Est ce bon?

Non, je ne pense pas... Que vaut U_n ? Que vaut U_(n+1) ?

[Sake]

U_n est une somme : c'est 1/k! (k=0) et U_(n+1) somme aussi 1/(k+1)!
J'ai remplacé les k par n et en simplifiant j'ai trouvé le résultat ci dessus

Attention, la somme est indexée par k mais elle dépend de n (car c'est n qui représente le niveau de sommation, c'est-à-dire la valeur plafond de tes k) La suite aussi est déterminée par n. k et n ne jouent pas le même rôle et tu ne peux pas faire varier l'un alors que c'est l'autre qui est concerné !

En fait, il faut que tu voies ça comme ça : est le nombre
Que vaut ?

[Sake]

Je reprend l'expression que tu ma donné mais je rajoute +1/(n+1)! ?

Voilà, c'est ça

Maintenant, que donne U_(n+1) - U_n ?

[Sake]

+1/(n+1)!
Donc c'est positif et croissant

Ok

Maintenant, pour la suite (V).

[Sake]

C'est pour toi :)

Bon courage

[Sake]

Salut,

Je pense qu'il y a une erreur. On devrait avoir 1/(n+1)! + 1/[(n+1)(n+1)!] - 1/(nn!)

Et là, ça va être un peu calculatoire, donc je te le détaille...

1/[(n+1)(n+1)!] - 1/(nn!) = [nn! - (n+1)(n+1)!]/[nn!(n+1)(n+1)!]
= [n!(n - (n+1)²)]/[nn!(n+1)(n+1)!]
= -(n²+n+1)/[nn!(n+1)(n+1)!]

Puis 1/(n+1)! + 1/[(n+1)(n+1)!] - 1/(nn!) = 1/(n+1)! - (n²+n+1)/[nn!(n+1)(n+1)!]
= [n(n+1)n! - (n²+n+1)(n+1)!]/[nn!(n+1)(n+1)!]
= -(n²+1)/[nn!(n+1)]

Essaie de le refaire à la main.

[Sake]

Dans ta toute dernière ligne de calcul au dénominateur ce n'est pas (n+1)! ?

Non, parce qu'à partir de :

[n(n+1)n! - (n²+n+1)(n+1)!]/[nn!(n+1)(n+1)!]

Je factorise en haut par (n+1)! (en remarquant que (n+1)n! = (n+1)! ) :

[(n-n²-n-1)(n+1)!]/[nn!(n+1)(n+1)!]

Et je peux donc simplifier en haut et en bas par (n+1)!