Somme des termes d'une suite arithmétique - 1ère spé Maths

[Ghytre]

Bonjour !

J'étudie en ce moment les suites : en relisant mon cours, j'ai lu plus attentivement la démonstration de la formule : (q-p+1) * ( (Up+Uq) /2) pour la somme des termes consécutifs d'une suite. voici la capture de mon cours : https://smallpdf.com/shared#st=af501c9e ... rd&rf=link

Je ne comprends pas, quelle technique il faut utiliser pour passer de l'avant dernière étape à la dernière .
De plus, ce qui devrait être, à mon avis, : (q-p+1) à la seconde étape, est : (p-q+1), est-ce une erreur ?
Je retourne le calcul dans tous les sens depuis hier pour comprendre, mais sans résultat !

Quelqu'un comprendrait le passage de l'avant dernière étape à la dernière ?

Merci d'avance pour vos réponses,
Ghytre

[hdci]

Bonjour,

Tout d'abord

De plus, ce qui devrait être, à mon avis, : (q-p+1) à la seconde étape, est : (p-q+1), est-ce une erreur ?

Oui vous avez raison, le terme u(p) apparaît bien (q-p+1) fois puisque on a pris q>=p

Ensuite

e ne comprends pas, quelle technique il faut utiliser pour passer de l'avant dernière étape à la dernière

Vous êtes d'accord sur le fait que


Donc



Or il se trouve que

Si votre souci se trouve dans le passage précédent (avant-dernière ligne à dernière ligne), on a simplement factorisé par

Enfin, petit truc pour se souvenir de la formule : c'est la moyenne des extrémités, multipliée par le nombre de termes : je prèfère retenir ainsi



Pour finir de s'en convaincre, voici une autre démonstration : on note



On peut l'écrire "à l'envers" ce qui donne



Maintenant on ajoute les deux lignes (l'une à l'endroit, l'autre à l'envers) et cela donne



Or chaque terme entre parenthèse est exactement égal à puisqu'on ajoute r à l'un et on le soustrait à l'autre : et de même pour les termes qui suivent.

Donc au total, il y a bien q-p+1 termes et cela donne

[Ghytre]

Merci pour votre réponse ! Tout devient plus claire !

Mais je ne comprends pas comment factoriser par (q-p+1) / 2 , sachant que ce terme n'est présent qu'une fois. De plus "up" devient "2up", et je ne comprends pas à quel moment, avec la factorisation, ce terme est multiplié.

[hdci]

Si vous avez



vous pouvez écrire que



Donc vous pouvez maintenant écrire



Vous auriez pu également factoriser par et cela donne en mettant au même dénominateur



Enfin, quand vous avez des doutes sur une factorisation qu'on vous propose, partez de ce qu'on vous propose et développez, vous verrez bien ce qui se passe.

Pour finir, de façon tout à fait générale, dans l'expression , vous pouvez toujours factoriser par même si le z n'apparaît nulle part ailleurs :



Et parfois le choix du z par lequel on factorise découle de "ce qu'on anticipe".

[Ghytre]

Vraiment merci ! J'ai enfin tout compris !

Vous expliquez d'une manière simple et compréhensible : ce qui me paraissait ce matin incompréhensible est très clair maintenant