Somme des entiers naturels égale à.. -1/12 ?

[Waax22951]

Bonjour,
Je tiens d'abord à signaler que je ne savais pas trop où classer ce post, et puisque je suis un lycéen, je me dis que cette question peut être classer dans le forum lycée. Si cependant ce n'est pas ici que je devais le poster, je m'en excuse auprès de la modération, qui saura surement quoi faire :lol3:
Il y a quelque temps, j'ai vu une vidéo de la très connue chaîne YouTube "Numberphile" qui expliquait comment obtenir l'égalité suivante (lien ici):

Je comprends l'explication et je n'ai pas la prétention de la remettre en doute, car apparemment il s'agit d'une formule largement utilisée en physique par exemple. Cependant je vois aussi quelque chose qui me surprend: je ne me rappelle plus de la formule exacte utilisée (et ma connexion internet m’empêche de regarder la vidéo pour le moment), mais ce dont je me rappelle, c'est qu'elle est définie pour tout 0<n<1, or ils utilisent la valeur de n telle que n=-1.. Je me suis alors dit que je n'étais qu'un ignare qui ne pouvait comprendre une démonstration et c'en est resté là.
Cependant, une deuxième vidéo de Numberphile m'a amené à regarder la page Wikipédia de l'hypothèse de Riemann, et c'est le même "problème", puisque dans la série de Riemann, on utilise une nombre complexe "s" dont la partie réelle est supérieure à 1 (car sinon la série diverge), alors que l’hypothèse de Riemann suggère que les "zéros non-triviaux" de la fonction zêta sont atteint si et seulement si la partie réelle de s est égale à 1/2.. Cette fois-ci, on peut trouver une explication dans l'article:

L'hypothèse de Riemann porte sur les zéros de cette fonction en dehors du domaine de convergence qu'on vient de voir, ce qui peut sembler n'avoir aucun sens. L'explication tient dans la notion de prolongement analytique : on peut démontrer qu'il existe une fonction holomorphe unique définie pour tout complexe (différent de 1, où elle présente un pôle simple) et coïncidant avec zêta pour les valeurs où cette dernière est définie.

J'avoue qu'après quelques pages Wikipédia et quelques maux de crâne, je ne comprends toujours pas ce principe de prendre des valeurs en dehors du domaine de convergence d'une série.

Serait-il donc possible qu'une âme bienfaisante m'explique cette notion qui a du mal à rentrer, s'il vous plaît ? :girl2:
En tout cas merci d'avoir lu jusqu'au bout et bonne soirée :we:

[Cliffe]

http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/01/20/le-scandale-des-series-divergentes/

[Waax22951]

Merci beaucoup !
L'article est bien rédigé et c'est relativement simple à comprendre si on se concentre un peu, c'est un très beau site, je vais le garder sous le coude ;)
Juste une dernière question, car j'ai vu que ces deux termes revenaient dans l'article:
D'abord, qu'est-ce que un sous-espace vectoriel, exactement ? Et ensuite qu'est-ce qu'un prolongement analytique ?
Merci :)

[Ben314]

Salut,
Un espace vectoriels en "vrai maths", c'est une structure abstraite, mais qui a (à peu prés...) les mêmes prpriétés que les vecteurs du plans que tu doit avoir vu à l'école (les bipoints avec une flèche dessus).
Tu as peut-être aussi vu les vecteurs de l'espace de dimension 3 (à 3 coordonnées).
Et un sous espace vectoriel, c'est une parti de l'espace qui reste stable par addition et multiplication par un réel.
Dans l'espace de dimension 3, les sous espaces (non "triviaux") ce sont les droites (vectorielles) et les plans (vectoriels).

Ensuite, le "prolongement analytique", c'est le fait que, pour certaines classes de fonctions, si on connait un tout petit bout de la fonction, on arrive à "reconstituer" la fonction complète (i.e. à prolonger le petit morceau qu'on connait)
Pour te donner un exemple, si sur une feuille tu as un petit morceau d'arc de cercle, ben juste avec ce petit morceau là, tu arrive à reconstituer le cercle tout entier (modulo bien sûr que tu soit sûr au départ qu'il s'agit bien d'un cercle) : donc tu prolonge le morceau déjà tracé en gardant la même "logique" (à savoir d'être un cercle...)

[Waax22951]

D'accord, j'y vois un peu plus clair merci ;)
Pour les prolongement analytiques, est-ce par cette "méthode" qu'on en déduit les séries de Taylor ou est-ce encore autre chose ?
Je ne les aie pas vu en cours, mais je vois relativement bien les vecteurs de dimensions 3 ;)
Mais un espace vectoriel peut il être assimilé à un ensemble ou pas ?
Et dernière question: Est-ce que les espaces vectoriels sont plus comme les vecteurs à transmettre une translation (d'espace ?) ou alors sont-ils plus une sorte de "base" pour les autres vecteurs ?
En tout cas merci pour ces précisions ! :lol3:

[Ben314]

Concernant les séries de Taylor, ce n'est par "par cette méthode qu'on les déduit", mais plutôt le contraire : on peut voire les séries de Taylors comme une certaine généralisation des polynômes et lorsqu'une fonction admet un développement en série, la série en question risque de permettre de "prolonger" la fonction de départ sur un ensemble plus grand que celui sur lequel elle était définie au départ.
Donc en bref, les série de Taylor, ça sert à prolonger les fonctions au delà de l'ensemble sur lesquels la fonction était définie précédemment.

Concernant les espaces vectoriels, pour un matheux, ce sont effectivement des ensemble, mais en fait à peu prés tout ce qu'on manipule en math est du type ensemble donc ça ne caractérise pas vraiment les espaces vectoriels.
Ce qui est important, c'est que sur l'ensemble en question, on est capable d'ajouter les éléments (qu'on appelle en général "vecteurs") et de les multiplier par un nombre réel.
Cela permet de les "combiner" entre eux et de faire certains types de calculs qui sont les fondement de ce que l'on appelle "l'algèbre linéaire".
Concernant les translations, effectivement, les vecteurs servent à les définir, mais on ne peut pas totalement dire que les vecteurs SONT des translations.

Pour donner l'exemple le plus simple (et à la fois très général) de ce qu'est un espace vectoriel, il suffit de considérer l'ensemble des triplets (x,y,z) de réels (donc au départ c'est bien un ensemble) sur lequel on définit les opérations d'addition (x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z') et de multiplication par un réel a.(x,y,z)=(ax,ay,az).
Ça parait un peu simpliste vu comme ça, mais... ça permet de faire des tas de choses...

[Waax22951]

D'accord je comprends mieux, merci pour tout et bonne continuation ! :lol3: