Sinx=2 ?

[Sourire_banane]

Ok ok.

Le seul point qui faisait que je me posais des questions, c'est la définition du sinus complexe. Je connais l'exponentielle complexe, je sais qu'on peut définir le sinus à partir de l'exp complexe, et ce sinus par définition prend des valeurs dans R. Et du coup je vois pas comment on peut étendre l'image à un ensemble qui soit plus grand que [-1,1].

[Robic]

Pourtant c'est le même problème que l'équation z² = -1 : pour des réels elle n'a pas de solution, pour des complexes, si.

D'ailleurs :

je sais qu'on peut définir le sinus à partir de l'exp complexe, et ce sinus par définition prend des valeurs dans R

Ce qui est à valeur dans R, c'est . Mais ça, c'est le sinus d'un réel (si est réel). Le sinus d'un complexe, lui, est à valeur dans C.

[Robic]

Allez, prouvons que sin z est à valeurs dans C en résolvant sin z = i (il n'y a rien à la télé, et je trouve ça amusant (excellente idée d'exercice !))

On applique la même méthode que plus haut, il faut donc résoudre :
(E).

Posons , il faut maintenant résoudre t² + 2t - 1 = 0. Les solutions sont -1+V2 et -1-V2, et on doit avoir ou

Comme tout à l'heure, j'écris z = x + iy, d'où ou .

Avec la première solution de (E) :
,
,
d'où la solution :
.

Avec la deuxième solution de (E) il y a une petite difficulté : -1-V2 est négatif, donc il faut écrire : .
Ainsi :
,
,
et la solution est :
.

On obtient ainsi une infinité de nombres complexes dont le sinus est égal à i. (En espérant n'avoir pas fait trop d'erreurs de calcul...)

[Sourire_banane]

Pourtant c'est le même problème que l'équation z² = -1 : pour des réels elle n'a pas de solution, pour des complexes, si.

D'ailleurs :

Ce qui est valeur dans R, c'est . Mais ça, c'est le sinus d'un réel (si est réel). Le sinus d'un complexe, lui, est à valeur dans C.

C'est ce dont je parlais, donc on définit le sinus réel à partir de l'exponentielle complexe... Je vais regarder ton post suivant pour voir ce qu'est le sinus complexe.

[chan79]

Il y a cette formule



à partir de là, on peut trouver x et y pour que ça fasse 2: ( le sinus égal à 1 et ) ou ( le sinus égal à -1 et )

[Sylviel]

En fait je pense que la manière la plus logique de définir sinus c'est à partir de son dévellopement en série entière. Cela donne donc le bon vieux sinus réel, le sinus complexe, mais aussi éventuellement un sinus matriciel ;-)

[Sourire_banane]

Ok Sylviel.

Finalement, le sinus c'est juste une notation pour des objets qui s'écrivent sous forme d'une même série entière, ces objets n'ayant pas forcément les même propriétés ?
C'est comme définir une exponentielle de matrice, jamais vraiment compris à quoi cela pouvait servir.

[Sylviel]

Je ne sais pas trop à quoi sers le sinus matriciel, à part à faire des exos.
En revanche l'exponentielle matricielle est fondamentale en équa-diff :zen:
(je te laisse réfléchir un peu à pourquoi, et sinon wiki est éclairant ;-)

L'une des manière les plus propre et universelle de définir les fonctions classiques consiste à passer par le développement en série entière.

[Sourire_banane]

Je ne sais pas trop à quoi sers le sinus matriciel, à part à faire des exos.
En revanche l'exponentielle matricielle est fondamentale en équa-diff :zen:
(je te laisse réfléchir un peu à pourquoi, et sinon wiki est éclairant

L'une des manière les plus propre et universelle de définir les fonctions classiques consiste à passer par le développement en série entière.

A tout hasard, je dirais que ça sert pour les systèmes différentiels ?

[Sylviel]

Pour n'importe quelle équa-diff linéaire en fait.
En effet
y" + 2y' + y = 0 peut se réécrire
x' + x = 0 où x= (y', y)
par exemple. Et la solution d'une équa diff linéaire du premier degré passe par une exponentielle.

[Sourire_banane]

Pour n'importe quelle équa-diff linéaire en fait.
En effet
y" + 2y' + y = 0 peut se réécrire
x' + x = 0 où x= (y', y)
par exemple. Et la solution d'une équa diff linéaire du premier degré passe par une exponentielle.

Oh, qu'est-ce que tu désignes par (y',y) ?

[paquito]

Sourire_Banane : j'ai effacé mon message précédent parce que je croyais que c'était plus simple. En fin de compte j'avais d'ailleurs raison (à un moment donné j'ai eu peur qu'il faille utiliser le logarithme complexe, mais non, pas besoin) : tout est faisable sans trop de problème au premier trimestre de fac ou de prépa, je pense, à part qu'il faut donner la définition du sinus d'un complexe.

Le point de départ, c'est la formule .

C'est elle qui sert pour définir le sinus d'un nombre complexe :
.

Donc sin z = 2 est équivalent à (après un petit calcul) :
.

On pose alors et on doit résoudre t² - 4it - 1 = 0 (E). C'est une équation facile à résoudre (au 1er trimestre de prépa ou de fac, plus au lycée) : t = (2±V3)i.

On a donc :
ou .

Si z était un réel, on dirait : « ah mais c'est impossible puisque est un nombre complexe de module 1 ». Mais z est complexe. Donc . D'où :


et idem avec l'autre solution.

Ainsi on obtient avec la première solution de (E) :


Et avec l'autre solution de (E), ça donne :
,
en utilisant le fait que .

Ici k est en entier relatif quelconque, il y a donc une infinité de solutions. Pour un k donné, elles sont conjuguées.

(Apparemment Chan79 a juste donné le cas particulier de .)

Paquito : j'ai trouvé ça pour toi : http://lesactualitesdudroit.20minutes-blogs.fr/media/00/01/3979163612.JPG (« sin(x)=2 n'a évidemment aucune solution [...] même en considérant sin(z)! ») :lol3:

Merci Siger, effectivement, j'ai dit une bourde, mais bon il a bien longtemps que je n'avais pas touché à ça. Le résultat de ton travail c'est que arcsin(2) me paraît difficile à définir. En conclusion, arcsin est la bijection réciproque de la restriction à [-pi/2; pi/2] de sin; on a un problème semblable si on veut définir V(z). Ce n'est pas sin(z)=2 qui pose problème, mais arcsin(2), la fonction sin(z) étant loin d'être bijective!

[Sylviel]

(y', y) est le vecteur dont la première coordonnée est y' et la seconde y.

[Sourire_banane]

Mais quand on dérive ce vecteur, cela donne x'=(y'',y') et lorsqu'on l'additionne à x le résultat est (y"+y',y'+y) non ? J'avoue ne pas avoir très bien compris...

[Sylviel]

Exact, je suis allé un peu vite... Dsl. L'idée est tout de même la suivante : on peut écrire une équa diff linéaire d'ordre n comme une equa diff du premier ordre mais avec un vecteur de dimension n. Et on sais résoudre les équa diff du premier ordre via la fonction exponentielle (matricielle en l'occurrence).

[Sourire_banane]

L'idée est tout de même la suivante : on peut écrire une équa diff linéaire d'ordre n comme une equa diff du premier ordre mais avec un vecteur de dimension n. Et on sais résoudre les équa diff du premier ordre via la fonction exponentielle (matricielle en l'occurrence).

Un peu comme lorsqu'on réduit une équa diff du second ordre en une EDO du premier ordre avec le Wronskien ?

[Sylviel]

C'est l'idée effectivement.

[Robic]

En fait je pense que la manière la plus logique de définir sinus c'est à partir de son dévellopement en série entière.

Cette définition est équivalente à définir : , ce qui permet de faire ce genre d'exercice avec des étudiants qui sortent juste du bac du moment qu'ils acceptent l'existence de l'exponentielle complexe (c'est elle, bien sûr, qu'il faut définir avec des séries entières), ce qui peut être fait en posant qui a un sens pour un bachelier (pour qui l'existence de l'exponentielle réelle est admise).