Simplifier une racine

[alexis6]

Bonjour,

je cherche à simplifier la racine de manière simple en celle-ci . Bien entendu, sans passer au carré.

Merci

[Lostounet]

Hello,

1. Première méthode, on essaye d'exprimer comme un carré ce qu'il y a sous la racine:





2. Deuxième méthode: on aime la géométrie et on constate que:




On reconnait le nombre d'or P sous la racine, qui vérifie P^2 = P + 1 (Et P > 0)
soit P = √(P + 1)

C'est donc le nombre d'or

[Ben314]

Salut,
Il n'y a pas vraiment de "méthode miracle" : tu écrit que avec des entiers ( non nul).
En élevant au carré, il vient donc
ce qui, du fait que est irrationnel, signifie que .
En procédant par substitution, on déduit que soit d'où puis c'est à dire ou .
- Si on trouve donc qui donne et comme une racine doit être positive, la solution est celle avec un +.
- Si on trouve qui n'a pas de solution entière (non nulles) vu que 20 n'est pas le carré d'un rationnel.

[alexis6]

Salut,

Merci d'avoir répondu si vite et si bien!

Toutefois, si je peux encore vous demander une précision, j'ai l'impression que vous utilisez la racine simplifiée pour démontrer l'égalité. Pour Lostounet, tu prends un carré sous la racine dans ta méthode 1, comment le trouves-tu? Pour Ben 314, tu utilises également le résultat pour supposer que celui-ci est de la forme .

Si l'énoncé avait simplement été de factoriser ( et c'était le cas ), comment dois-je faire?

[Ben314]

Si l'énoncé avait simplement été de factoriser ( et c'était le cas ), comment dois-je faire?

Tu écrit simplement que, comme , une factorisation est et c'est tout.

Il est assez rare que des "racines de racines" ça se simplifie, donc si rien de spécial n'est demandé, ben on les laisse comme ça.
Par exemple, , ça se simplifie pas sous forme d'une seule racine...

[Ben314]

Pour Ben 314, tu utilise également le résultat pour supposer que celui-ci est de la forme .

Je suppose effectivement qu'il est de cette forme là, mais très souvent, les calculs mènent uniquement... à une contradiction...
Donc on (re)trouve le fait que seules certaines racines de racine sont "simplifiable" en une seule racine.

[alexis6]

D'accord, pas de méthode sans supposer le résultat, ok.

[Lostounet]

Pour Lostounet, tu prends un carré sous la racine dans ta méthode 1, comment le trouves-tu?

Si on souhaite écrire sous la forme de
on peut chercher a et b des nombres qui vérifient:


On peut chercher à résoudre le système:



Soit
Et

Les nombres a^2 et b^2 sont deux nombres dont on connait la somme S et le produit P. Ils sont donc solution de l'équation

En résolvant cette équation, X1 = 1/2
X2 = 5/2

Donc a = √2/2
b = √(5/2)

conviennent et on a donc la factorisation:

(3 + √5) = (a + b)^2

Modif: La seule arnaque de la méthode, c'est qu'il me semble qu'on utilise une propriété de Q[V5] pour poser le système, mais elle marche bien

[Ben314]

@Lostounet : essaye la même chose avec pour voir...

[Lostounet]

@Lostounet : essaye la même chose avec pour voir...

La "simplification" est encore pire que le truc de départ

[Lostounet]

Un problème qui m'intéresserait: étant donné un irrationnel exprimé à l'aide de racines carrées.
Quel est le nombre minimal de "symbole racine carré" dont on a besoin pour exprimer ce nombre?

Je vais voir mon prof d'algèbre demain

[Ben314]

Déjà, s'il est transcendant, ben tu va pas pouvoir.
Ensuite, s'il est algébrique de degrè supérieur ou égal à 5, la théorie de Galois te dit qu'il y a de très forte chances (à préciser...) que tu puisse pas non lus.
Enfin, si tu prend par exemple un gentil nombre entier N, que tu forme une équation du 3em degrés dont N est une "racine évidente" puis que, tel le gros bourrin tu résous ton équation du 3em degré par la méthode de Cardan, tu obtient une expression de N comme somme de deux racines cubiques contenant des racines carrées et plus ou moins la seule façon de "simplifier" ce truc pourri pour montrer que c'est le bête entier N, c'est de remonter les calculs "à l'envers" et de dire que l'équation du 3em degré a une "racine évidente".

Enfin, bref, y'a pas de moyen théorique de savoir si un truc un peu "quelconque" contenant des racines de racines se simplifie ou pas...

[Lostounet]

Merci Ben pour ces précisions!
Je m'en souviendrai lorsque j'entamerai la théorie de Galois, et lorsque mon niveau en algèbre le permettra.