[TS SPE] Similitude plane directe

[Anonyme]

Bonjour.

J'ai quelques petits soucis sur un exo (de bac je crois), dont voici
l'énoncé :

"Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, u, v) d'unité
graphique 1 cm, on considère les points A_0, A_1, A_2 d'affixes
respectives :

z_0 = 5 - 4i
z_1 = - 1 - 4i
z_2 = - 4 - i

1. a. Justifier l'existence d'une unique similitude directe S telle que
:

S(A_0) = A_1 et S(A_1) = A_2"



Ca parait tout bête, mais je vois vraiment pas quoi répondre..


"1. b. Etablir que l'écriture complexe de S est :

z' = [(1-i)/2]*z + (-3+i)/2"


Là, normalement, je suis ok : je pars de :
S(A_0) = A_1 et S(A_1) = A_2, cad :

z_1 = a*z_0 + b
z_2 = a*z_1 + b

Là je trouve a et b par le biais d'un système.

Je trouve donc :

a = (1-i)/2 et b = (-3+i)/2

C'est ok.


"1. c. En déduire le rapport, l'angle et l'affixe w du centre OMEGA de
la similitude S."


Là aussi, ça a l'air ok, je mets les résultats :

rapport : |a| = sqrt(2)/2

angle : arg a = -pi/4 + 2Kpi (K appartenant à Z)

affixe w : w = b/(1-a) = - 1 + 2i


"1. d. On considère un point M, d'affixe z avec z appartenant C*, et son
image M', d'affixe z'.
Vérifier la relation : w - z' = i (z - z')
En déduire la nature du triangle OMEGA M M'."


J'ai réussi à montrer l'égalité.
Avec les égalités de modules et d'arguments induites, je trouve un
triangle OMEGA M M' isocèle rectangle en M'.


"2. Pour tout entier naturel n, le point A_(n+1) est défini par :
A_(n+1) = S(A_n)
et on pose : u_n = A_nA_(n+1).

a. Placer les points A_0, A_1, A_2 et construire géométriquement les
points A_3, A_4, A_5, A_6."


Voilà ma question ici :
à partir d'un segment [AB], comment construire un point C tel que ABC
soit isocèle rectangle en C ? (médiatrice pour l'équidistance, mais
l'angle droit ?)


"b. Démontrer que la suite (u_n) est géométrique."


Là je vois pas trop quoi faire..


"3. La suite (v_n) est définie sur N par :
v_n = u_0 + u_1 + ... + u_n.

a. Exprimer v_n en fonction de n."


Là je pense qu'il faut passer par la somme de la suite géométrique
(u_n), mais n'ayant pu répondre à la 2.b., j'ai pas la raison de (u_n).

"3. b. La suite (v_n) est-elle convergente ?"


Pas vraiment sûr là :

=> la suite (v_n) est croissante (somme de distances).
=> (v_n) majorée par : (u_0 + u_1 + ... + u_n) + 1

Donc (v_n) converge.


"4. a. Calculer en fonction de n le rayon r_n du cercle circonscrit au
triangle OMEGA A_n A_(n+1)."

Euuuuuh.

La suite, ça me parait faisable.


Merci d'avance pour votre aide :] !

[Anonyme]

Bonjour,

Yakumo :
> 1. a. Justifier l'existence d'une unique similitude directe S
> S(A_0) = A_1 et S(A_1) = A_2"
> Ca parait tout bête, mais je vois vraiment pas quoi répondre..

Tu l'as fait dans le 1.b. L'énoncé est mal fait.

> à partir d'un segment [AB], comment construire un point C tel
> que ABC soit isocèle rectangle en C ? (médiatrice pour
> l'équidistance, mais l'angle droit ?)

Tu fais un cercle de diamètre [AB].

> A_(n+1) = S(A_n)
> et on pose : u_n = A_nA_(n+1).
> "b. Démontrer que la suite (u_n) est géométrique."

C'est de la pure question de cours.
Comment est-ce qu'une similitude de rapport k transforme les
longueurs ?

> "3. b. La suite (v_n) est-elle convergente ?"

Ca doit se voir très facilement avec l'expression de (v_n).
Il suffit d'avoir une raison r telle que |r| (v_n) majorée par : (u_0 + u_1 + ... + u_n) + 1[/color]
Non, tu dois trouver un majorant réel.

Par exemple, tu ne peux pas dire que la suite (n) est majorée par
n+1 donc converge.


Même si ça partait d'une bonne intention, pas besoin de mettre tout
l'exercice la prochaine fois, tu as sû faire quasiment l'exercice
en entier. Pose juste les questions sur les petits détails.

À plus tard.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel :
> Non, tu dois trouver un majorant réel.

fini.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Am 18/01/04 13:36, sagte Yakumo (nospam-yakfuji@wanadoo.fr) :

> Bonjour.
Bonjour,

> J'ai quelques petits soucis sur un exo (de bac je crois), dont voici
> l'énoncé :
>
> "Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, u, v) d'unité
> graphique 1 cm, on considère les points A_0, A_1, A_2 d'affixes
> respectives :
>
> z_0 = 5 - 4i
> z_1 = - 1 - 4i
> z_2 = - 4 - i
>
> 1. a. Justifier l'existence d'une unique similitude directe S telle que
> :
>
> S(A_0) = A_1 et S(A_1) = A_2"
>
> Ca parait tout bête, mais je vois vraiment pas quoi répondre..

tu devrais rleire ton cours
pour que la similitude soit définie et unique, tu dois avoir A0 != A1 et A1
!= A2, soit z0 != z1 et z1 != z2

> "1. b. Etablir que l'écriture complexe de S est :
>
> z' = [(1-i)/2]*z + (-3+i)/2"
>
>
> Là, normalement, je suis ok : je pars de :
> S(A_0) = A_1 et S(A_1) = A_2, cad :
>
> z_1 = a*z_0 + b
> z_2 = a*z_1 + b
>
> Là je trouve a et b par le biais d'un système.
>
> Je trouve donc :
>
> a = (1-i)/2 et b = (-3+i)/2
>
> C'est ok.
oui
>
> "1. c. En déduire le rapport, l'angle et l'affixe w du centre OMEGA de
> la similitude S."
>
>
> Là aussi, ça a l'air ok, je mets les résultats :
>
> rapport : |a| = sqrt(2)/2
>
> angle : arg a = -pi/4 + 2Kpi (K appartenant à Z)
>
> affixe w : w = b/(1-a) = - 1 + 2i

oui c'est exact
>
> "1. d. On considère un point M, d'affixe z avec z appartenant C*, et son
> image M', d'affixe z'.
> Vérifier la relation : w - z' = i (z - z')
> En déduire la nature du triangle OMEGA M M'."
>
>
> J'ai réussi à montrer l'égalité.
> Avec les égalités de modules et d'arguments induites, je trouve un
> triangle OMEGA M M' isocèle rectangle en M'.
oui
>
> "2. Pour tout entier naturel n, le point A_(n+1) est défini par :
> A_(n+1) = S(A_n)
> et on pose : u_n = A_nA_(n+1).
>
> a. Placer les points A_0, A_1, A_2 et construire géométriquement les
> points A_3, A_4, A_5, A_6."
>
>
> Voilà ma question ici :
> à partir d'un segment [AB], comment construire un point C tel que ABC
> soit isocèle rectangle en C ? (médiatrice pour l'équidistance, mais
> l'angle droit ?)

le plus simple est peut être de tracer d'abord la médiatrice de [AB],
puisque C en fait partie, puis le demi-cercle de centre le milieu de [AB]
(que tu as déterminé à partir de la médiatrice), puisque ABC est rectangle
en C donc C appartent à ce demi-cercle

>
> "b. Démontrer que la suite (u_n) est géométrique."
>
>
> Là je vois pas trop quoi faire..
ce n'est pourtnant pas bien compliqué...
un+1/un = S(AnAn+1)/(AnAn+1) = rapport(s) = sqrt(2)/2

> "3. La suite (v_n) est définie sur N par :
> v_n = u_0 + u_1 + ... + u_n.
>
> a. Exprimer v_n en fonction de n."
>
>
> Là je pense qu'il faut passer par la somme de la suite géométrique
> (u_n), mais n'ayant pu répondre à la 2.b., j'ai pas la raison de (u_n).

oui, ca devrait aller maintenant

> "3. b. La suite (v_n) est-elle convergente ?"
>
>
> Pas vraiment sûr là :
>
> => la suite (v_n) est croissante (somme de distances).
> => (v_n) majorée par : (u_0 + u_1 + ... + u_n) + 1
NON !
tu ne peux pas affirmer à priori que la suite vn est majorée. SI tu veux
majorer une suite (ou une fonction), ton majorant ne dois pas dépendre de n

> Donc (v_n) converge.
en fait, tu as besoin de la question précenete pour le montrer

> "4. a. Calculer en fonction de n le rayon r_n du cercle circonscrit au
> triangle OMEGA A_n A_(n+1)."
>
> Euuuuuh.
le triangle en question est rectangle, donc le centre de son cercle
circonscrit est au milieu de l'hypothénuse, et donc ...

> La suite, ça me parait faisable.
>
>
> Merci d'avance pour votre aide :] !
>
>

[Anonyme]

On 18 Jan 2004 12:36:28 GMT, Yakumo wrote:

>Bonjour.
>
>J'ai quelques petits soucis sur un exo (de bac je crois), dont voici
>l'énoncé :
>
>"Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (O, u, v) d'unité
>graphique 1 cm, on considère les points A_0, A_1, A_2 d'affixes
>respectives :
>
>z_0 = 5 - 4i
>z_1 = - 1 - 4i
>z_2 = - 4 - i
>
>1. a. Justifier l'existence d'une unique similitude directe S telle que
>:
>
>S(A_0) = A_1 et S(A_1) = A_2"
>
>
>
>Ca parait tout bête, mais je vois vraiment pas quoi répondre..
une simi directe est z'=az+b avec a non nul
A0 et A1 distincts fait que a et b existent (par diff m à m on a tout
de suite a , puis b cela sans besoin d'expliciter a et b))
A1 diff de A2 fait que a est non nul
donc il existe bien un seul a non nul et un seul b
d'où l'existence et l'unicité ;
en principe ce résultat théorique est au pg (existence d'une unique
simi telle que...);
ensuite si besoin on explicite les coeff d'où la 1b
>"1. b. Etablir que l'écriture complexe de S est :
>
>z' = [(1-i)/2]*z + (-3+i)/2"
>

>
>"1. d. On considère un point M, d'affixe z avec z appartenant C*, et son
>image M', d'affixe z'.
>Vérifier la relation : w - z' = i (z - z')
>En déduire la nature du triangle OMEGA M M'."
>
>
>J'ai réussi à montrer l'égalité.
>Avec les égalités de modules et d'arguments induites, je trouve un
>triangle OMEGA M M' isocèle rectangle en M'.
je pense que là il faut être capable de reconnaître le fait que la
relation
w-z'=i(z-z')
prouve que Omé est l'image de M par la rotation de centre M' et
d'angle pi/2 (arg de i) , ce qui donne le résultat que tu as trouvé
l'écriture complexe d'une rotation de centre I et d'angle u étant
z'-z_I=exp(i*u)*(z-Z_I) (c'est au pg)
c'est un aspect très utile pour les triangles équilatéraux (u=pi/3)
>

*****************

Pichereau Alain

adresse mail antispam : ôter antispam, les 3 lettres devant wana et bien sûr le .invalid

http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )

*****************

[Anonyme]

albert junior wrote in
news:BC3043B6.1E268%alberteinstein588***@hotmail.com:


> tu devrais rleire ton cours
> pour que la similitude soit définie et unique, tu dois avoir A0 != A1
> et A1 != A2, soit z0 != z1 et z1 != z2


Ah bon.. Je n'ai pas ça dans mon cours, mais il me semble qu'on l'avait pas
tout à fait terminé, donc..

Pour le reste, merci beaucoup.

[Anonyme]

Michel wrote in news:XnF94748F51410Fmichel@
193.252.19.141:

> Même si ça partait d'une bonne intention, pas besoin de mettre tout
> l'exercice la prochaine fois, tu as sû faire quasiment l'exercice
> en entier. Pose juste les questions sur les petits détails.

Désolé.
J'ai pensé que vous auriez pu avoir besoin de ce qui avait été fait
auparavant pour pouvoir m'aiguiller, ce qui n'était pas le cas.
En tous les cas, merci pour votre aide.

[Anonyme]

marc.pichereauantispam@wanadoo.fr.invalid (Marc Pichereau) wrote in
news:400ab3be.5503696@news.wanadoo.fr:

> ensuite si besoin on explicite les coeff d'où la 1b

En gros, la 1a et 1b sont à regrouper.

Merci également .

[Anonyme]

Am 18/01/04 18:18, sagte Yakumo (nospam-yakfuji@wanadoo.fr) :

> albert junior wrote in
> news:BC3043B6.1E268%alberteinstein588***@hotmail.com:
>
>[color=green]
>> tu devrais rleire ton cours
>> pour que la similitude soit définie et unique, tu dois avoir A0 != A1
>> et A1 != A2, soit z0 != z1 et z1 != z2
>
>
> Ah bon.. Je n'ai pas ça dans mon cours, mais il me semble qu'on l'avait pas
> tout à fait terminé, donc..
>
> Pour le reste, merci beaucoup.
>[/color]
une similitude directe est caractérisée par le donné de deux couples de
points homologues (A,A') et (B,B') (A' = s(A))
si A = B, alors soit A' = B' et on a en fait un seul couple, soit un même
point a deux images par la transformation, et alors il ne peut s'agir d'une
similitude directe
si A' = B', soit A=B et alors cf 1er cas, soit A != B et alors deux points
différents ont même image par la transformation, qui n'est alors pas une
similitude directe


albert

--

Bitte abnehmen die drei Sterne (***), um Albert Einstein (Junior) zu
antworten