Similitude directe

[flo2708]

Bonsoir tout le monde, voici un petit exo sur lequel je bloque, ayant un bac blanc de spé dans 2 semaines, j'entame les révisions :D

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (o;u;v) On designe par s l'application qui a tout point M du plan P de coordonnées (x;y) associe le point M' de coordonnées (x';y') tel que
x'=-x-y+2
y'=x-y-1


1)Determiner l'affixe de z' de M' en fonction de l'affixe de z de M
2)demontrer que s est une similitude plane directe
Precisser son angle son rapport et son centre I
3)soit g l'application qui a pour tout point M de P associe l'isobarycentre G des points M M' et M'' avec M''=s(M')
a)calculer en fonction de l'affixe z de M les affixe des point M'' et G
b)demontrer que g est une similitude plane directe.Quel est son centre?
c)determiner l'affixe de M0 (M indice zero) tel que g(M0) soit le point O

Voila alors en fait je bloque pour la 2) et la3), si quelqu'un a une idée svp?
Merci.

[johnjohnjohn]

Bonsoir tout le monde, voici un petit exo sur lequel je bloque, ayant un bac blanc de spé dans 2 semaines, j'entame les révisions

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal (o;u;v) On designe par s l'application qui a tout point M du plan P de coordonnées (x;y) associe le point M' de coordonnées (x';y') tel que
x'=-x-y+2
y'=x-y-1


1)Determiner l'affixe de z' de M' en fonction de l'affixe de z de M
2)demontrer que s est une similitude plane directe
Precisser son angle son rapport et son centre I
3)soit g l'application qui a pour tout point M de P associe l'isobarycentre G des points M M' et M'' avec M''=s(M')
a)calculer en fonction de l'affixe z de M les affixe des point M'' et G
b)demontrer que g est une similitude plane directe.Quel est son centre?
c)determiner l'affixe de M0 (M indice zero) tel que g(M0) soit le point O

Voila alors en fait je bloque pour la 2) et la3), si quelqu'un a une idée svp?
Merci.

2) c'est du cours. z'=a.z+b, a b des complexe, est l'expression complexe d'une similitude de rapport |a| et d'angle arg (a). Comme tu as trouvé l'expression de z' en 1) c'est du gateau

3) Il faut partir de ce qu'on te donne. G(xG,yG) isobarycentre de M,M',M'' donc

GM + GM' + GM'' = 0 ( le tout en vecteurs )

[flo2708]

2) c'est du cours. z'=a.z+b, a b des complexe, est l'expression complexe d'une similitude de rapport |a| et d'angle arg (a). Comme tu as trouvé l'expression de z' en 1) c'est du gateau

3) Il faut partir de ce qu'on te donne. G(xG,yG) isobarycentre de M,M',M'' donc

GM + GM' + GM'' = 0 ( le tout en vecteurs )

Oups désolé en fait la 2 c'était bon, je l'avais deja faite, mais merci quand même.

Alors pour la 3a), ca donne :

GM + GM' + GM" = 0
|zm-zg| + |zm'-zg| + |zm"-zg| = 0 ?

[johnjohnjohn]

Oups désolé en fait la 2 c'était bon, je l'avais deja faite, mais merci quand même.

Alors pour la 3a), ca donne :

GM + GM' + GM" = 0
|zm-zg| + |zm'-zg| + |zm"-zg| = 0 ?

Non !! cette égalité est vraie en vecteurs pas en modules !

a) vecteurs



b) distances

GM+GM'+GM''=0

Si G isobarycentre de M,M',M'' on a a) mais pas b)

Par contre tu y étais presque

zU est l'affixe de
zV est l'affixe de

alors ssi zU+zV=0

[flo2708]

Non !! cette égalité est vraie en vecteurs pas en modules !

a) vecteurs



b) distances

GM+GM'+GM''=0

Si G isobarycentre de M,M',M'' on a a) mais pas b)

Par contre tu y étais presque

zU est l'affixe de
zV est l'affixe de

alors ssi zU+zV=0

Donc cela fait

Equivaut a :

zGM + zGM' + zGM" = 0 ?

[flo2708]

Up

M'(z')=s(M) donc : z'=az+b s
et M"(z")=s(M') donc : de même z"=az'+b = z"=a(az+b)+b

Mais comment y introduire G(zg) ?

[flo2708]

G est le centre de gravité du triangle MM'M",
,
donc
ZGM + ZGM' + ZGM" = 0
Ce qui équivaut à |ZM - ZG| + |ZM' - ZG| + |ZM" - ZG| = 0

Enfin je ne vois rien d'autre, pourquoi est-ce faux?

[flo2708]

Bonsoir, j'ai fais le calcul, et je tombe sur:
z' = (-1+i) (x+iy) +2-i = -x-iy+ix-y+2-i
z" = (-1+i) (-x-iy+ix-y+2-i) +2-1 = x+iy-ix+y-2+i-ix+y-x-iy+2i+1+2-i = -2ix+2y+2i+1 = 2(-ix+y) +2i+1

Mais on sait que z = x + iy, or z" j'ai xi + y, donc j'arrive pas exprimer z" en fonction de z, ou est le prob ?

[flo2708]

Bonsoir, j'ai fais le calcul, et je tombe sur:
z' = (-1+i) (x+iy) +2-i = -x-iy+ix-y+2-i
z" = (-1+i) (-x-iy+ix-y+2-i) +2-1 = x+iy-ix+y-2+i-ix+y-x-iy+2i+1+2-i = -2ix+2y+2i+1 = 2(-ix+y) +2i+1

Mais on sait que z = x + iy, or z" j'ai xi + y, donc j'arrive pas exprimer z" en fonction de z, ou est le prob ?

J'ai continuer et j'ai :
zM-zG + zM'-zG + zM"-zG = 0
zG = (zM + zM' + zM")/3
C'est correct?

[flo2708]

J'ai continuer et j'ai :
zM-zG + zM'-zG + zM"-zG = 0
zG = (zM + zM' + zM")/3
C'est correct?

Pour zM" j'avais
zM" = 2(-ix+y) +2i +1
donc
zM" = -2i(x+iy) +2i + 1 = -2iz + 2i+1

Par conséquent
zG = (z + (-1+i)z +2 -i +2i + 1 -2iz) /3
zG = (-iz+3+i)/3 (Simplification possible?)

Pour la suite, monrer que g est une similitude plane, faut-il montrer que
zG = az + b ?

Pour le centre de g, je ne vois pas trop par contre..

Pour la derniere, si je fais
azM0 + b = 0 zM0 = -b/a = (-2+i)/(-1+i) = [(-2+i)(-1-i)]/[(-1+i)(-1-i)] = (3+i)/2
C'est correct?

[johnjohnjohn]

J'ai continuer et j'ai :
zM-zG + zM'-zG + zM"-zG = 0
zG = (zM + zM' + zM")/3
C'est correct?

On va partir de là parceque apres tu t'emmêles les pinceaux:

M(z) ( M d'affixe z )
M'(z')=s(M(z)), z'=a.z+b
M''(z'')=s(M'(z)), z''=a.z'+b, z''=a.(a.z+b)+b=a².z+ab+b

zG=(zM + zM' + zM")/3
zG=(z+a.z+b+a².z+ab+b)/3
zG=(z(1+a+a²)+ab+2b)/3

Reprends tes calculs sans passer par la forme cartésienne ( les x et y ), tu verras que les calculs sont beaucoup plus aisés.

Maintenant je réponds en vrac à tes autres questions :

- Oui il faut que tu montres que zg est de la forme zg=c.z+d ( je prends volontairement d'autres notations ). C'est pas plus compliqué que pour la question 2.
- Le centre d'une similitude c'est le point Mo tel que Mo=s(Mo) , le seul point du plan invariant par cette transformation. Une fois que tu as l'expression complexe, c'est du gateau

[flo2708]

On va partir de là parceque apres tu t'emmêles les pinceaux:

M(z) ( M d'affixe z )
M'(z')=s(M(z)), z'=a.z+b
M''(z'')=s(M'(z)), z''=a.z'+b, z''=a.(a.z+b)+b=a².z+ab+b

zG=(zM + zM' + zM")/3
zG=(z+a.z+b+a².z+ab+b)/3
zG=(z(1+a+a²)+ab+2b)/3

Reprends tes calculs sans passer par la forme cartésienne ( les x et y ), tu verras que les calculs sont beaucoup plus aisés.

Maintenant je réponds en vrac à tes autres questions :

- Oui il faut que tu montres que zg est de la forme zg=c.z+d ( je prends volontairement d'autres notations ). C'est pas plus compliqué que pour la question 2.
- Le centre d'une similitude c'est le point Mo tel que Mo=s(Mo) , le seul point du plan invariant par cette transformation. Une fois que tu as l'expression complexe, c'est du gateau

zG = (z(1+a+a²)+ab+2b)/3 = (z(1-1+i+(-1+i)²)+(-1+i)(2-i)+2(2-i))/3
zG = (z(i+(1-2i-1)+(-2+i+2i+1)+4-2i))/3
zG = (z(i+1-2i-1-2+i+2i+1+4-2i))/3
zG = 3z/3
zG = z
??

[johnjohnjohn]

zG = (z(1+a+a²)+ab+2b)/3 = (z(1-1+i+(-1+i)²)+(-1+i)(2-i)+2(2-i))/3
zG = (z(i+(1-2i-1))+(-2+i+2i+1)+4-2i))/3
zG = (z(i+1-2i-1-2+i+2i+1+4-2i))/3
zG = 3z/3
zG = z
??

Niet ! Tu as perdu une parenthèse en cours de route et ça t'a perdu. Reprends ton brouillon

[flo2708]

Niet ! Tu as perdu une parenthèse en cours de route et ça t'a perdu. Reprends ton brouillon

zG = (z(1+a+a²)+ab+2b)/3 = (z(1-1+i+(-1+i)²)+(-1+i)(2-i)+2(2-i))/3
zG = (z(i+(1-2i-1))+(-2+i+2i+1)+4-2i))/3
zG = (z(i+1-2i-1)-2+i+2i+1+4-2i)/3
zG = (iz+z-2iz-z-2+i+2i+1+4-2i)/3
zG = (-iz+3+i)/3

Voilou.
zG = (-iz+3+i)/3, donc g, est une similitude plane, cela suffit?

- g(M0) = 0 azM0 +b = 0 zM0 = -b/a ?

[johnjohnjohn]

zG = (z(1+a+a²)+ab+2b)/3 = (z(1-1+i+(-1+i)²)+(-1+i)(2-i)+2(2-i))/3
zG = (z(i+(1-2i-1))+(-2+i+2i+1)+4-2i))/3
zG = (z(i+1-2i-1)-2+i+2i+1+4-2i)/3
zG = (z(-i)-2+i+2i+1+4-2i)/3
zG = (iz+z-2iz-z-2+i+2i+1+4-2i)/3
zG = (-iz+3+i)/3

ça me paraît beaucoup mieux ! j'aboutis au même calcul. Néanmoins regarde comme tu t'es compliqué la vie même si ton résultat est juste ! j'ai rajouté une ligne pour te le montrer.

Pour la suite je ne pourrai vérifier que demain matin mais ton exercice est quasi terminé.

[flo2708]

ça me paraît beaucoup mieux ! j'aboutis au même calcul. Néanmoins regarde comme tu t'es compliqué la vie même si ton résultat est juste ! j'ai rajouté une ligne pour te le montrer.

Pour la suite je ne pourrai vérifier que demain matin mais ton exercice est quasi terminé.

Très bien, merci beaucoup, John.

[johnjohnjohn]

zG = (z(1+a+a²)+ab+2b)/3 =
zG = (-iz+3+i)/3, donc g, est une similitude plane, cela suffit?

Presque, il faut que tu mettes bien en évidence que c'est de la forme z'=c.z+d avec c et d complexes

zG=-i/3.z + (3+i)/3

Et il te reste à préciser le rapport et l'angle de la similitude

- g(M0) = 0 azM0 +b = 0 zM0 = -b/a ?

c'est quoi ça ??? c'est pour déterminer le centre de la similitude ?? alors tu n'as pas pigé , le centre il est tel que g(Mo)=Mo. J'ai pas dis tel que g(Mo)=0 !!

[flo2708]

Presque, il faut que tu mettes bien en évidence que c'est de la forme z'=c.z+d avec c et d complexes

zG=-i/3.z + (3+i)/3

Et il te reste à préciser le rapport et l'angle de la similitude




c'est quoi ça ??? c'est pour déterminer le centre de la similitude ?? alors tu n'as pas pigé , le centre il est tel que g(Mo)=Mo. J'ai pas dis tel que g(Mo)=0 !!

Ok alors
z'=c.z+d c = i/3
d = 3+i
C'est l'ecriture d'une similitude directe.


Pour M0, dans la consigne, ils disent que g(M0) = 0 "tel que g(M0) soit le point O", or g(Mo)=Mo, donc zM0 = 0 ??

[johnjohnjohn]

Ok alors
z'=c.z+d c = i/3
d = 3+i
C'est l'ecriture d'une similitude directe.


Pour M0, dans la consigne, ils disent que g(M0) = 0 "tel que g(M0) soit le point O", or g(Mo)=Mo, donc zM0 = 0 ??

Tu m'as fait douter mais j'ai relu ton énoncé. Tu confonds deux questions mais c'est un peu ma faute puisque j'ai pris des notations qui pouvaient t'enduire dans l'horreur :lol5:

b)demontrer que g est une similitude plane directe.Quel est son centre?

donc t'as établi l'expression complexe de la similitude g, zG = (-iz+3+i)/3

donc c=-i/3 d =(3+i)/3 ( Si tu sais pas te relire, je ne peux rien faire pour toi )

Mais pour le centre non !! je t'ai dis que le centre C de la similitude c'est le point tel que g(C)=C ! ( le seul point invariant ) ( j'avais pas vu que Mo était choisi pour notation dans la question suivante )

c)determiner l'affixe de M0 (M indice zero) tel que g(M0) soit le point O

là on est d'accord pour Mo, on a g(Mo)=O et donc 0=(-i.zMo+3+i)/3