Signe d'une fonction affine

[yann06]

Bonjour ,

je veux faire la démonstration pour :
Signe d'une fonction affine


Avec Geogebra, j'ai placé un point d'abscisse et d'ordonnée 0

et une droite qui passe par ce point

si alors f (x) < 0

si alors f(x) < 0

[yann06]

RE bonjour

j'ai fait un dessin avec Geogebra mais mon quota est encore saturé

Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

[pascal16]

fonction affine : toute fonction f(x)=ax+b, avec a et b des nombres réels.
représentation graphique : une droite d'équation y=ax+b

variations :
a=0 càd f(x) =b, fonction constante
si a est strictement positif, fonction strictement croissante, donc f(x)<0 si x<xo et f(x)>0 si x>xo (avec f(xo)=0)
(la fonction croit, y augmente quand x augmente, elle va vers le haut)
si a est strictement négatif, fonction strictement décroissante, donc f(x)>0 si x<xo et f(x)<0 si x>xo (f(xo)=0)
(la fonction décroit, y diminue quand x augmente, elle va vers le bas)

sou géogebra, tu peux faire 2 curseus a et b.

[pascal16]

Réciproque (géométrie -> analyse).
toute droite du plan est
- soit : une droite verticale d'équation x= cst
- soit : une droite affine d'équation y=ax+b, a et b réels

[yann06]

Bonjour Pascal 16

merci beaucoup pour ton cours récapitulatif

tu me proposes de créer deux curseurs avec Geogebra

Peux tu m'aider à les créer ? s'il te plait

[Lostounet]

Salut,

Le signe d'une fonction affine est très facile. Travaille avec les deux exemples: g(x)=2x-4 et f(x)=-x+3

Pour trouver le signe de g suivant la valeur de x, il suffit de résoudre g(x) > 0 et g(x) < 0. Pareil pour f.


Cela te montrera les deux cas de figure possibles avant de passer à la preuve du cas général ax+b.

[yann06]

Résoudre l'inéquation g(x) > 0, c'est à dire résoudre 2x - 4 > 0



Résoudre l'inéquation g(x) < 0, donc résoudre 2x - 4 <0

[yann06]

pour f(x) = -x + 3

Résoudre f(x) > 0, c'est à dire résoudre -x + 3 > 0



et là, ça commence à beuger avec le -x > -3

[Lostounet]

Résoudre l'inéquation g(x) > 0, c'est à dire résoudre 2x - 4 > 0



Résoudre l'inéquation g(x) < 0, donc résoudre 2x - 4 <0

Cela signifie que g(x) > 0 est positif lorsque x >2 et négatif (ie g(x)<0) lorsque x<2. On a donc trouvé le signe de la fonction g en fonction des valeurs prises par x.

Pour la deuxième fonction c'est un peu plus difficile.
Tu as -x<-3 : multiplie alors par (-1) les deux membres de l'inéquation. Comme (-1) est négatif le signe < devient >. Cela te donne également le signe de f.

[yann06]

Résoudre

donc f(x) > 0 est positif lorsque x < 3

et f(x) < 0 est négatif lorsque x > 3

[yann06]

et on peut dire que : on a trouvé le signe de la fonction g en fonction des valeurs de x

[zygomatique]

salut

signe de la fonction affine f(x) = ax + b

si a = 0 alors le signe de la fonction constante f(x) = b est le signe de b

si a<> 0 alors et il suffit de retourner au collège ...

[MJoe]

Bonjour à tous,

J'ai fait un petit dessin sous Geogebra :



Les curseurs permettent de faire varier la position des points (a fait varier M et b fait varier P). Sur la partie gauche on voit les coordonnées des points M et P.

Voici également le fichier Geogebra : Télécharger le fichier.

Si cela peut aider.
MJoe.

[zygomatique]

on peut faire beaucoup mieux avec géogebra ... puisqu'il résout des inéquations ...

[MJoe]

on peut faire beaucoup mieux avec géogebra ... puisqu'il résout des inéquations ...

Oui bien sûr mais notre ami @yann06 voulait simplement des curseurs pour faire varier la position des points.

MJoe.

[MJoe]

Bonjour,

Exemple de résolution de l'inéquation :
La partie de couleur violette correspond aux abscisses solutions, donc



Geogebra semble sans limites.
MJoe

[laetidom]

Réciproque (géométrie -> analyse).
toute droite du plan est
- soit : une droite verticale d'équation x= cst
- soit : une droite affine d'équation y=ax+b, a et b réels

Bonsoir @ tous,

y=ax+b partout sauf à la vertical/horizontal, ok,
à l'horizontal : a tend vers 0 donc y=b ok,
par contre à la vertical, je sais que l'on a x = cste mais j'ai du mal à le démontrer, pouvez-vous m'aider à comprendre ? :
en effet, concernant a, pour un x donné on a y qui tend vers mais précisément comment arriver à monter au final que x = cste, ça m'échappe . . .
Merci par avance de tout complément d'information !...

[Lostounet]

Réciproque (géométrie -> analyse).
toute droite du plan est
- soit : une droite verticale d'équation x= cst
- soit : une droite affine d'équation y=ax+b, a et b réels

Bonsoir @ tous,

y=ax+b partout sauf à la vertical/horizontal, ok,
à l'horizontal : a tend vers 0 donc y=b ok,
par contre à la vertical, je sais que l'on a x = cste mais j'ai du mal à le démontrer, pouvez-vous m'aider à comprendre ? :
en effet, concernant a, pour un x donné on a y qui tend vers mais précisément comment arriver à monter au final que x = cste, ça m'échappe . . .
Merci par avance de tout complément d'information !...

Salut Laetidom,
A mon avis si l'étude est le signe d'une fonction affine, le cas x = cste ne se présente même pas (car sinon ce n'est pas une fonction au sens usuel pour des raisons apparentes).

Par contre si tu veux montrer que x = cste est le cas limite de pente infinie (avec des outils du lycée), il me semble que le mieux est de prendre deux points A(m ; n) et B(p; q). Considère que n et q sont deux nombres distincts, et que m est fixe.

On peut considérer que la pente a est une fonction de p, On a donc, que:

(puisque q et n sont distincts, on a une forme (nombre non nul)/0), remarque que je n'ai pas précisé +infini ou - infini...


Par contre ceci ne nous renseigne pas sur pourquoi la droite est de la forme x = cste. Une réponse possible est peut-etre l'utilisation du produit scalaire de R^2 avec les vecteurs directeurs et/ou vecteurs normaux.

En effet toute droite d'équation cartésienne a pour vecteur directeur Cela veut dire que si tu prends une droite horizontale comme y = 10 par exemple, (par exemple une équation cartésienne serait 2y - 20 = 0), tu as un vecteur directeur qui est u(-2;0).

Tu veux que toute droite verticale du plan ait un vecteur directeur orthogonal à u, c'est-à-dire un vecteur v(p;q) tel que le produit scalaire de u et v soit toujours nul (avec v un vecteur non nul)..
Pour tout p, u.v = -2p = 0. Cela veut dire que p doit toujours être nul et que q est a priori quelconque.
En revenant à l'équation cartésienne, ax+by+c = 0, on trouve donc un vecteur directeur v(0;q), donc quelque chose de la forme
, c'est-à-dire x = cste lorsque q est non nul).

Maintenant, si on veut aller dans les raisons profondes des choses car je pense que ce que j'ai mis ici n'est pas une vraie preuve d'existence mais une vérification que tout tourne bien rond notamment car on utilise gratuitement la notion de vecteur directeur (pourquoi il existe des droites verticales et des droites horizontales dans le plan), il faut se renseigner sur l'espace projectif et sa construction.... Comme ici: http://www.normalesup.org/~crenard/geom ... ective.pdf
Mais c'est un cours que j'ai vu trop récemment pour encore le maîtriser ou l'expliquer...!

[laetidom]

Merci Lostounet, je vais approfondir tout ça ! . . .

[zygomatique]

en géométrie cartésienne où tout point du plan est repéré par un couple (x, y) de coordonnées dans un repère quelconque il est évident que les sous-ensembles caractéristiques sont les droites d'équation x = a et y = b puisque le point M(a, b) est l'intersection de ces deux ensembles et il est unique ...
ces droites sont évidemment parallèles aux axes du repère ...

de même qu'en géométrie complexe tout point du plan est repéré par un couple (r, t) avec r >= 0 et t qui peut être multiple ... et les sous-ensembles caractéristiques sont les cercles d'équation r = k et les demi-droites d'origine l'origine du repère et d'équation t = c