Signe d'une fc exponentielle et résolution d'une équation avec e^x

[Pierre4]

Bonjour,
j'ai deux petites questions où je sèche un peu ,pourriez-vous m'aider?
1)Je dois déterminer la position de 2courbes C1=(e^(x)-1)/(e^(x)-x)
et C2=(e^(x)-2)/(e^(x)-2x).
Je soustraie donc les 2équations de droites:
(e^(x)-1)/(e^(x)-x)-(e^(x)-2)/(e^(x)-2x) réduction même dénominateur
(e^(x)-1)(e^(x)-2x)-(e^(x)-2)(e^(x)-x)/(e^(x)-x)(e^(x)-2x)
On obtient après simplification:
(e^(x)-xe^(x))/(e^(x)-x)(e^(x)-2x).
Alors ici je sais pas trop comment faire:e^(x)-x>0 si x>ln(x) autrement dit x>0
e^(x)-2x>0 si x>ln(2x) x>0
e^(x)-xe^(x)>0 e^(x)>xe^(x) 1>x
Cela veut dire que C1 est au-dessus de C2 quand x<1
est en -dessous de C2 quand x>1?

2)Il faut résoudre une équation et prouvée que la racine est égale à 0
e^(x)*x-2e^(x)+2
0 est racine évidente néanmoins comment je le prouve?

Merci d'avance pour vos réponses

[XENSECP]

le début ca a l'air ça :)
la deuxième ba montre l'équation :)

[Pierre4]

Bonjour,
merci tout d'abord d'avoir répondu:)
pour la 2)e^(x)*x-2e^(x)+2=0
0 est racine évidente car quand x=0 (e^0)*0-2e^0 +2=-2+2=0
ça suffit comme preuve?
Merci d'avance

[XENSECP]

si on te dit qu'il y a qu'une racine 0, ba tu montre comme tu viens de faire que c'est évident mais je pense plutot que tu dois étudier la fonction et faire le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver qu'il y a qu'une solution sur R qui est donc évidemment 0 ;)

[XENSECP]

d'après mon étude il y a 2 solutions ;)

[Pierre4]

Vous êtes fort il y a effectivement 2racines mais une seule doit être prouvée:).
L'équation que j'ai donnée découle d'un exercice assez long et il y a une fonction similaire mais elle a déjà été étudié c'est pour ça que je ne pense pas qu'on est besoin d'utiliser le théorème de la bijection.Juste prouver que x=0
e^(x)*x-2e^(x)+2
lim e^(x)*x-2e^(x)+2=e^(x)(x-2)+2=+infini lim e^(x)*x-2e^(x)+2=0
x-->+infini x->-infini
lim e^(x)*x-2e^(x)+2=-infini car e>2 donc -e+2<0
x->1
Il y a donc une solution sur ]-infini;1[ et une autre sur ]1;+infini[.

e^(x)*x-2e^(x)+2=0
racine évidente 0
x1=0
Donc je peux prouver juste en remplacer?
Merci d'avance