Signe sin(x)-xcos(x)

[lou244]

Bonjour à tous,
J’ai un dm de maths de TS à faire et je dois étudier les variations d’une fonction :
f(x)= x/sinx (c’est un quotient).
sur ]0;pi[

J’ai fait sa dérivée et j’ai trouvé :
f’(x)= sin(x)-xcos(x) / sinx^2

sinx^2 est positif, donc pour trouver le signe de celle-ci je dois trouver le signe de sin(x)-xcos(x). Cependant je bloque et je ne trouve pas (c’est la dernière question de mon dm). Je suis sure que je passe à côté de quelque chose que je n’arrive pas à trouver, ça fait pas mal de temps que je suis bloquée...
Merci de m’aider ou de me donner de pistes, bonne journée à tous.

[lyceen95]

Quand tu as une forme comme ça : sin(a)sin(b) - cos(a)cos(b), tu sais réécrire ça sous une autre forme ?

Ou bien, quand tu as cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b) ?

Et vois-tu comment ramener ton numérateur à une formule de ce genre ?

[Black Jack]

Salut,

f’(x)= (sin(x)-xcos(x))/sin²x (sur ]0 ; Pi[)

f'(x) a le signe de g(x) = sin(x) - x.cos(x)

g'(x) = cos(x) - cos(x) + x.sin(x)
g'(x) = x.sin(x)
et comme x > 0, g'(x) a le signe de sin(x) --> sur ]0 ; Pi[ et donc : g'(x) > 0 et donc g est croissant

lim(x--> 0) g(x) = 0

Et donc, des 2 lignes précédentes, on conclut que g(x) > 0 (donc f'(x) > 0) sur ]0 ; Pi[

Comme f'(x) > 0 , f est croissante sur ]0 ; pi[

Il faut continuer l'étude des variations de f(x) ...

[lou244]

Merci beaucoup pour votre réponse ça m’a aidé ! Mais par contre je comprend pas comment à partir de la limite, on conclut que g(x)>0 ? A part ça j’ai tout compris, merci !

[Black Jack]

Salut,

On a : lim(x-->0) g(x) = 0 et g est croissante sur ]0 ; Pi[

Si, près de x = 0, g(x) est quasi nul et augmente lorsque x augmente (puisque g croissante), alors g(x) est partout plus grande que 0, on a donc bien g(x) > 0 sur ]0 ; Pi[

OK ?

[lou244]

Oui, merci beaucoup !!