Signe de dérivée et variations de fonction discordantes

[Pousch]

Bonjour,

Je suis face à un paradoxe. Il doit y avoir une erreur de ma part, mais je ne vois pas laquelle, c'est pour cela que je fais appel à vous.

Voilà le problème :
On sait qu'une fonction g(x)=pi.x+tg(pi.x) possède les variations suivantes sur [0;1/2[U]1/2;1] :
sur [0;1/2[; g(x) croissante de 0 à +inf et sur ]1/2;1], g(x) croissante de -inf à pi en passant donc par 0 pour x=a.

On a à présent une fonction f(x)=x.sin(pi.x) définie sur [0;1].
f'(x)=sin(pi.x)+x.pi.cos(pi.x)
donc en divisant le tout par cos(pi.x) :
f'(x)=pi.x+tg(pi.x)
f'(x)=g(x)

Hors, selon les variations de g(x), on peut dire que f'(x)>0 sur [0;1/2[; f'(x)<0 sur ]1/2;a[ et >0 jusqu'à 1.
f(x) varie donc en conséquence.

Malheureusement, ça n'est pas le cas : on voit (sur le graphe et sur la solution donnée, mais sans autres explications) que la fonction est croissante sur [0;a[ et décroissante sur ]a;1[.

Auriez-vous une solution à me proposer ?
Merci

[Imod]

Attention , g(x)=f'(x)/cos(pi.x) et cos(pi.x) est négatif sur ]1/2;1] !

Imod

[Pousch]

Tout à fait ! Voilà l'erreur !

Merci !

[Pousch]

Après mûre réflexion, je ne suis pas satisfait, désolé.

Si on repart d'ici :
f'(x)=sin(pi.x)+x.pi.cos(pi.x)

Et qu'on pose f'(x)=0 pour obtenir le signe de f'(x).
On a sin(pi.x)+x.pi.cos(pi.x)=0
On peut, ici, diviser le tout par cos(pi.x), ou bien écrire (pour plus de clarté) :
sin(pi.x)=-x.pi.cos(pi.x)
Soit:
sin(pi.x)/cos(pi.x)=-x.pi
tan(pi.x)=-x.pi
tan(pi.x)+x.pi=0
g(x)=0

g(x)=0 pour x=a
Or xa g(x)>0

Donc, f(x) décroissante sur ]1/2;a[ et croissante au-delà de a.
Or c'est l'inverse qu'on observe.

D'autres idées ? Ou bien, expliquez-moi "g(x)=f'(x)/cos(pi.x)" car c'est loin d'être clair pour moi.