Sens de variation

[nitt]

bonsoir à tous,

j'ai une fonction à étudier mais je butte sur la justification du sens de variation. ca doit pourtant etre tout simple mais la, jsui coincé.

la fonction est u(x)=1 + (-2x+1)exp(2x)
je l'ai dérivé et je trouve u'(x)=-2x+1
facile de dire que c'est positive de -oo jusqu'a 1/2 et puis qu'ensuite c'est négatif mais je n'arrive pas à le justifier mathématiquement

comment faire ??

merci pour votre aide

[rene38]

Bonjour

...la fonction est u(x)=1 + (-2x+1)exp(2x)
je l'ai dérivé et je trouve u'(x)=-2x+1

Ta dérivée est fausse.

à part le "1+" le reste est un produit et (fg)'=f ' g + f g '

[anima]

BonjourTa dérivée est fausse.

à part le "1+" le reste est un produit et (fg)'=f ' g + f g '

u(x)=1 + (-2x+1)exp(2x)
On peut la simplifier un peu pour rendre la dérivée plus "sympa":
u(x) = 1 + e(ln(-2x+1))e(2x)
= 1 + e(2x+ln(-2x+1))
u'(x) = (2-2/(-2x+1))e(2x+ln(-2x+1))

[rene38]

anima : j'ai peur que ta "simplification" n'en soit pas une.

En particuler, sauf erreur, u(x)=1 + (-2x+1)exp(2x) : u est définie sur IR

Quand tu écris : u(x) = 1 + e(ln(-2x+1))e(2x) le domaine de définition s'est singulièrement rétréci !

[anima]

anima : j'ai peur que ta "simplification" n'en soit pas une.

En particuler, sauf erreur, u(x)=1 + (-2x+1)exp(2x) : u est définie sur IR

Quand tu écris : u(x) = 1 + e(ln(-2x+1))e(2x) le domaine de définition s'est singulièrement rétréci !

Effectivement. J'avais pas pensé à la réciprocité

[nitt]

oupsss,

u'(x)= -2 x exp(2x) + (-2x+1) x 2exp(2x)
u'(x)= -2 x exp(2x) + 2(-x+exp(2x)) + 2exp(2x)
u'(x)= -2x + 2exp(2x)

c'est ca??

[rene38]

u'(x)= -2 x exp(2x) + (-2x+1) x 2exp(2x)
u'(x)= -2 x exp(2x) + 2(-x+exp(2x)) + 2exp(2x)
c'est ca??

La première ligne, oui :

ensuite, il faut développer (en distribuant)
puis réduire : le résultat est très simple.

[nitt]

u'(x)= -2 x exp(2x) + (-2x+1) x 2exp(2x)
u'(x)= -2 x exp(2x) -(2x)(2exp(2x)) + 2exp(2x)
u'(x)= (-2x)(2exp(2x))


comment je peut réduire plus ?
ca fait (-4x)exp(2x) ??

merci d'avance pour vos réponses

[anima]

u'(x)= -2 x exp(2x) + (-2x+1) x 2exp(2x)
u'(x)= -2 x exp(2x) -(2x)(2exp(2x)) + 2exp(2x)
u'(x)= (-2x)(2exp(2x))


comment je peut réduire plus ?
ca fait (-4x)exp(2x) ??

merci d'avance pour vos réponses

Je pense que tu as une erreur de calcul:
-2 x exp(2x) + (-2x+1) x 2exp(2x)
exp(2x)(-2+(-2x+1)2)
-2xexp(2x)

[rene38]

Non, non : pas d'erreur.
Même si, dans mon message précédent, il manque le 2 entre la parenthèse fermante et l'exponentielle, le résultat est bien

[annick]

Bonjour,
Je suis d'accord avec ce dernier résultat qui est quand même plus simple!

[nitt]

mais alors, comment je peut justifier du sens de variation de u(x). il faut prouver que la dérivée est positive en -oo et positive en +oo mais comment le faire?

[rene38]

mais alors, comment je peut justifier du sens de variation de u(x). il faut prouver que la dérivée est positive en -oo et positive en +oo mais comment le faire?

Dérivée positive sur ]-oo;0], nulle en 0, négative sur [0;+oo[
avec u(0)=2 ; limite facile en +oo, un peu moins en -oo

[pharaosdu49]

oupss oui c'est négatif pour R+, mais le pb c'est de le prouver.

[nitt]

oups, oui, c négative sur R+
mais le pb, c'est de la justifier. j'ai vu sur ma calto les résultats que tu a mais je ne sai pa coment le justifier.

[rene38]

Tu ne sais pas trouver

pour quelle valeur de x s'annule ?
quel est le signe de suivant que x est positif ou négatif ?
est un produit et une exponentielle est toujours ...

[nitt]

bah ca s'annule en 0
c'est positif pour x<0 et c'est négatif pour x>0
l'exp est toujours positive donc le signe de u'(x) devrait toujours etre négatif?
pourquoi c'est positif sur R- alors ?
jcapte plus rien moi...

please help

[annick]

c'est bizarre ce que tu viens de conclure : on est d'accord, l'exponentielle est toujours positive.
-4x est positif pour x<0, négatif pour x>0 et nul pour x=0
Tu mets tout ça dans ton tableau de variations et tu trouves que ta fonctionest croissante pour x<0, décroissante pour x>0 et a un maximum pour x=0.
Ce doit être parce que tu commences à fatiguer, car là, on est dans un cas simple de construction de tableau de variations

[nitt]

je suis de retour après une bonne sieste, tu avait surement raison annick.
bon donc maintenant que j'ai le tableau, il faut que je démontre que l'équation u(x)=0 admet une unique solution (ca c'est facile) mais quelle se situe sur [0,1] ? je calcule u(0) et u[1) et je montre que l'un est positif et l'autre négatif ?