Sens de variation pour équation bicarrée

[tania51]

bonjour, On me demande d'étudier le sens de variation de la fonction sur R et dresser le tableau de variation:

f(x) = (x² - 1/2)² + 3/4


merci

[Jota Be]

Bonsoir Tania,
En gros, que devez-vous faire pour déterminer le sens de variation d'une fonction ? ...

[tania51]

regarder si c'est croissant ou décroissant mais avec une équation bicarrée je suis un peu perdu...

merci

[Jota Be]

En quelle classe êtes-vous ? Savez-vous utiliser les dérivées ?

[tania51]

En quelle classe êtes-vous ? Savez-vous utiliser les dérivées ?

je suis en première et nous avons vu les dérivées.

merci

[Jota Be]

Bien. Que savez-vous de l'utilisation des dérivées dans ce cas-là? A quoi peuvent-elles vous servir? Aussi, savez-vous dériver un polynome? Avez-vous abordé la notion de limite?

[oscar]

Etude des variations d' une fonction


f(x! = 2 ( x² -1/2) ² + 3/4

rtacines de f ( il n' y en a PAS car c' est une somme de deux carrés)
f' = 2 ( x² -1/2) * 2x =4x ( x²- 1/2)

Racines - v2/2 ; 0 ; v2/2
tableau

x.............-v2/2...........0...........v2/2.....
f'+++++++o-------------0+++++++0-------
f


gomplète

[tania51]

bonjour,

Ta réponse me semble pas très claire car d'après ma calculatrice f(x) serait décroissant sur ]- infini; 0] et [0;1] puis serait croissant sur [-1;0] U [1;+ infini[.

et si s'était d'après ma calculatrice cela me donne:

x : -infini -1 0 1 +infini

----------- (-1) ++ (1)-- (-1) +++++


mais en détaillant ce que tu as fait je ne trouve pas ça du tout...

merci.

[Jota Be]

Oscar,
Je ne saisis pas très bien...
Bref, en développant l'expression de f(x), on obtient x^4-x^2+1, ok?
Dériver f(x) donne f'(x)=4x^3-2x
Factorisez par x et cela vous donne f'(x)=x(4x^2-2)
Trouvez les racines de 4x^2-2 et l'ensemble des solutions de f'(x)=0 comprend les racines précédemment énoncées avec 0 puisque un produit de facteur est nul ssi au moins un des facteurs est nul (vous connaissez la litanie).
Les solutions que vous trouvez donc sont les abscisses des points où f'(x) s'annule et sont donc les abscisses des points où f(x) change de comportement.
Pour savoir le signe de f'(x) dérivez encore. Vous obtiendrez f"(x)=12x^2-2 et déterminez le signe de f'(x).
Une fois que vous aurez fait ceci, il ne reste plus qu'à dresser le tableau de variations de f(x)


edit : le signe de f'(x) peut tout aussi être déterminé de tête.
Pour cela, prenez la limite en moins l'infini et en plus l'infini de f'(x). Vous trouvez respectivement moins l'infini et plus l'infini.
En prenant de l'habitude, vous saurez qu'un polynome de degré impair et supérieur à 1 est globalement croissant sur R, sauf si le signe du coefficient associé au terme de plus haut degré est négatif.
Si ce polynome admet plus d'une racine, vous saurez qu'il change de signe entre chaque racine.
Ceci n'est en aucun cas une démonstration et je vous déconseille fortement de l'écrire en examen, c'est seulement une méthode que j'utilise pour ne pas dériver encore et n'est seulement qu'un outil de vérification.


Post-edit : finalement je comprends ce que vous avez mis Oscar

[Jota Be]

Je trouve comme Oscar. Si vous tapiez bien l'expression sur votre calculatrice, vous verrez aussi

[tania51]

merci encore à vous deux mais pouvez vous me faire cela sans utiliser la dérivation ?
car c'est un exercice portant sur des études de fonctions et problèmes avec ( u+k , racine de u et 1/u ) ainsi que la valeur absolue cependant on ne fait pas référence aux limittes et dérivations.

encore merci

[Jota Be]

pouvez vous me faire cela sans utiliser la dérivation ?

Malheureusement, on ne fait pas l'exercice mais on vous donne des pistes.
Donc si vous voulez d'autres métodes que la dérivation, en développant, vous vous retrouvez avec une fonction bicarrée f(x)=x^4-x²+1
Vous en pensez quoi de cette fonction ? Pouvez-vous transformer son écriture tel que f s'écrive g o h (fonction composée) ?
Si oui, faites le et déterminez le sens de variation de chacune des fonctions g et h sur R. Superposez les tableaux de variation de g et h.
Or, si vous avez bien lu votre cours, il y a des théorèmes qui disent que la composée de deux fonction ayant la même variation sur un intervalle est une fonction croissante sur cet intervalle et la composée de deux fonctions de variations différentes sur un intervalle est une fonction décroissante sur cet intervalle... d'où la présence de fonctions de type racine, valeur absolue, bicarrée, ..., dans votre DM, qui nécessitent toutes cette approche de fonction composée.

[tania51]

en reprenant ma fonction bicarrée du départ avec x^4 - x^2 +1 , peut tu m'expliquer comment trouve t'on son sens de variation s'il te plait car je m'embrouille.

merci

[Jota Be]

Bref, f(x)=(g o h)(x), ça c'est sûr. Donnez-moi g(x) et h(x).

[tania51]

il n'y a pas de g(x) ni de h (x) on me donne juste cela:

f est la fonction définie sur R par f(x) = x^4 - x^2 +1.

a) vérifier que pour tout nombre réel x:
f(x) = ( x^2 - 1/2 )² +3/4

b) étudier le sens de variation de la fonction f sur R et dresser son tableau de variation.


merci

[Jota Be]

Bien sûr que si il y a un h(x) et un g(x) !! Ils ne sont pas dans l'énoncé mais on peut déterminer qui ils sont.
Je vais faire plus bref. Répondez à cette question : avez-vous déjà vu la composition de fonctions ou pas ?
Il me semble que cette année, les 1ères ne l'ont plus au programme, bien que l'année dernière je les ai vu (mais je suis passé avant la réforme).

[tania51]

non nous l'avons pas vu cette année peut être le verons nous ultérieurement.

merci

[tania51]

s'il vous plait aidez moi...

[SaintAmand]

s'il vous plait aidez moi...

Bonjour,

Si l'on vous demande d'écrire f sous cette forme



ce n'est pas pour rien. Utilisez-la.

1. Conjecturez un tableau de variation. Pour cela vous allez dessiner l'allure de la courbe représentative de f en dessinant successivement les graphes des fonctions suivantes (pas la peine de prendre une calculatrice. Des courbes à main levée montrant le sens de variation et le signe de f suffisent).




puis

et enfin
.

2. Il ne reste plus qu'à prouver votre conjecture.

Supposons que vous aillez trouvé que f est strictement croissante sur [1,10]. Pour le démontrer vous pouvez procéder ainsi:

Soit a et b deux nombres réels tel que .
car est strictement croissante sur R+

car la fonction carrée est strictement croissante sur R+.

c'est-à-dire

f est strictement croissante sur [1,10].

[Jota Be]

Bonjour SaintAmand,
Cette méthode s'avère particulièrement longue et fastidieuse si notre fonction change souvent de variation (je ne sais pas si ça se dit). En effet, le montrer sur chaque intervalle est beaucoup d'efforts pour peu.
Je maintiens la méthode qui utilise la composition de fonctions mais vu que Tania ne l'a jamais appris...