[DM] le sens de variation des fonctions

[phillipe30104]

Bonjour,

J'ai un Dm à rendre pour demain j'ai essayé de chercher avant de poster ce message. Mais impossible je ne comprends vraiment rien, pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
J'en suis quand même arrivé à là:
b) fx--->2(x-1)²+3sur [1;+l'infini[
a(x)= x-1 qui est croissante sur [1;+l'infini] car c'est une fonction affine avec un coef directeur positif
b(x)= x² qui est croissante sur [il faut changer l'intervalle ?] car c'est une fonction carré
c(x)= 2x qui est croissante sur [il faut changer l'intervalle ?] car multiplier une fonction par un nombre positif ne change pas son sens de variation
d(x)=x+3 qui je ne sais pas
Voilà j'ai peut etre oublié des étapes aussi
Pouvez m'aider s'il vous plait ? Je suis désespéré !
DM, c'est le 64 bcd page 71 et la méthode que ma donné mon professeur : exemple pour une autre fonction

[Sa Majesté]

Salut

a(x)= x-1 qui est croissante sur [1;+l'infini[ (car c'est une fonction affine avec un coef directeur positif) et à valeurs dans [0,+l'infini[

b(x)= x² qui est croissante sur [0,+l'infini[ et à valeurs dans [0,+l'infini[

donc e=b o a (cad e(x)=(x-1)²) est croissante sur [1;+l'infini[ et à valeurs dans [0,+l'infini[

Je te laisse continuer

[phillipe30104]

Bonjour,

Merci beaucoup de m'aider,

J'ai compris vos premières phrases mais pas celle ci :

"donc e=b o a (cad e(x)=(x-1)²) est croissante sur [1;+l'infini[ et à valeurs dans [0,+l'infini["

Je ne dois pas faire de "c(x)=2x" ni de "d(x)=x+3" ?

[Sa Majesté]

J'ai compris vos premières phrases mais pas celle ci :

"donc e=b o a (cad e(x)=(x-1)²) est croissante sur [1;+l'infini[ et à valeurs dans [0,+l'infini["

C'est exactement comme dans l'exemple de ton 1er post (le 2ème lien)
e(x)=(x-1)² est la composition de a(x)=x-1 et de b(x)=x² donc e=boa (le "o" c'est la composition)

Je ne dois pas faire de "c(x)=2x" ni de "d(x)=x+3" ?

Si, c'est pour ça que j'ai dit que je te laisse continuer

[phillipe30104]

d'accord donc :

donc e(x)=(x-1)² est croissante sur [1;+l'infini[ (ça j'ai compris) et à valeurs dans [0,+l'infini[ (ça je n'ai pas compris

ensuite je dois dire
c= 2x ou
c(x)= 2(x-1)² ?
pareil je dois dire :
d(x)= x+3 ou d(x)= 2(x-1)²+3

excuser moi mes questions à répition, mais j'étais absent quand mes camarades ont fait cela

[Sa Majesté]

d'accord donc :

donc e(x)=(x-1)² est croissante sur [1;+l'infini[ (ça j'ai compris) et à valeurs dans [0,+l'infini[ (ça je n'ai pas compris

C'est pour être plus explicite que j'ai mis un code de couleur dans mon premier post
En fait une composition c'est comme une chaîne
e(x)=boa(x) ça veut dire que tu appliques d'abord "a" à x puis tu appliques "b" au résultat de "a" c'est-à-dire à a(x)
e(x)=boa(x)=b(a(x))
a(x)= x-1 est croissante sur [1;+l'infini[ et envoie tous les éléments de [1,+l'infini[ dans [0,+l'infini[
Ça veut dire que a est croissante et que a(x) est dans [0,+l'infini[
Comme tu appliques "b" à a(x) et que a(x) est dans [0,+l'infini[, il faut regarder ce que fait b dans [0,+l'infini[
b(x)= x² croissante sur [0,+l'infini[ et envoie tous les éléments de [0,+l'infini[ dans [0,+l'infini[
Ça veut dire que b(a(x)), c'est-à-dire e(x), est dans [0,+l'infini[
donc e=b o a est croissante (car composée de 2 fonctions croissantes) sur [1;+l'infini[ et à valeurs dans [0,+l'infini[

ensuite je dois dire
c= 2x ou
c(x)= 2(x-1)² ?

Tu as plusieurs façons de faire
- soit tu dis : 2 est une constante positive donc quand on multiplie une fonction par 2 ça ne change pas son sens de variations. Et là tu conclus que "2e" varie comme "e", c'est-à-dire qu'elle est croissante sur [1;+l'infini[
- soit tu dis c(x)=2x est croissante car c'est fonction affine avec un coef directeur positif. Soit f(x)=2(x-1)² alors f=coe et tu fais comme tout à l'heure avec la composition

[phillipe30104]

Si cela doit se suivre je dois dire :

a(x)=x-1 x-1 est une fonction affine 0<1 donc a est croissante sur [1;+l'infini[
a(1)=1x1-1=0

b(x)=x² x² est une fonction carré et mettre une fonction croissante au carré ne change pas son sens de variation donc elle est croissante sur [0;+l'infini[
b(0)=0²=0

c(x)= 2x Multiplier une fonction croissante par un nombre positif ne change pas son sens de variation donc C est croissante sur [0;+ l'infini[.
c(0)=2x0=0

d(x) = x+3 0<3 Ajouter un nombre positif à une fonction croissante ne change pas son sens de variation donc D est croissante [0;+ 'l'infini[
d(x)=3
d(x)= f(x)


C'est cela ? J'ai fais une chaine

[Sa Majesté]

Si cela doit se suivre je dois dire :

a(x)=x-1 x-1 est une fonction affine 0<1 donc a est croissante sur [1;+l'infini[

OK

a(1)=1x1-1=0

OK ça c'est pour dire que les valeurs de a(x) sont dans [0,+l'infini[

b(x)=x² x² est une fonction carré et mettre une fonction croissante au carré ne change pas son sens de variation donc elle est croissante sur [0;+l'infini[

Attention, la fonction "carré" est croissante sur [0,+l'infini[ mais elle est décroissante sur ]-l'infini,0] donc tu ne peux pas dire que mettre une fonction croissante au carré ne change pas son sens de variation

b(0)=0²=0

Pareil que pour a

c(x)= 2x Multiplier une fonction croissante par un nombre positif ne change pas son sens de variation donc C est croissante sur [0;+ l'infini[.
c(0)=2x0=0

Idem

d(x) = x+3 0<3 Ajouter un nombre positif à une fonction croissante ne change pas son sens de variation donc D est croissante [0;+ 'l'infini[
d(x)=3

Idem

d(x)= f(x)

Non, f(x) = do(co(boa))

[phillipe30104]

"Attention, la fonction "carré" est croissante sur [0,+l'infini[ mais elle est décroissante sur ]-l'infini,0] donc tu ne peux pas dire que mettre une fonction croissante au carré ne change pas son sens de variation" donc je dois dire qu'elle est croissante sur l'intervalle [0+l'infini] ?

Et pour C et D je dois dire quoi alors ? Je ne comprends pas

Non, f(x) = do(co(boa)) Je ne comprends rien ma chaine aurait dû tout prendre en compte ?

[Sa Majesté]

"Attention, la fonction "carré" est croissante sur [0,+l'infini[ mais elle est décroissante sur ]-l'infini,0] donc tu ne peux pas dire que mettre une fonction croissante au carré ne change pas son sens de variation" donc je dois dire qu'elle est croissante sur l'intervalle [0+l'infini] ?

Oui, c'est pour ça que c'est important de dire que a(x) a ses valeurs dans [0,+l'infini[
Ensuite b s'applique à a(x) qui est dans [0,+l'infini[ donc tu dois regarder ce que fait b dans [0,+l'infini[
Et là il se trouve que b est croissante sur [0,+l'infini[

Et pour C et D je dois dire quoi alors ? Je ne comprends pas

Je te l'ai déjà dit ...

Non, f(x) = do(co(boa)) Je ne comprends rien ma chaine aurait dû tout prendre en compte ?

Tu vois bien que quand tu écris d(x)=x+3, tu n'as pas d(x)=f(x) puisque f(x)=2(x-1)²+3

[phillipe30104]

mais c'est une chaine, dans d(x)=x+3
x ne représente pas 2(x-1)² ? Si ce n'est pas le cas je n'ai mais alors rien compris :mur:

[phillipe30104]

up s'il vous plait je ne pas comment faire sans votre aide

[Sa Majesté]

mais c'est une chaine, dans d(x)=x+3
x ne représente pas 2(x-1)² ? Si ce n'est pas le cas je n'ai mais alors rien compris :mur:

La chaîne se traduit par la composition
Dire que "x représente 2(x-1)²" c'est faire implicitement une composition