Second exercice sur eqution de pythagore

[chtirico]

Bonjour,

Pourriez vous vérifier et me donner qq indications pour les questions où je bloque. Merci

Soit (x,y,z) une solution de l'équation x²+y²=z² avec pgcd(x,y)=d
1. Prouver que d² divise z²

Réponse : si pgcd(x,y)=d alors il exite x' et y' premiers entre eux tel que x=dx' et y=dy'
donc x²+y²=z² devient (dx')² + (dy')² = z² donc d² (x'² + y'²) = z² donc d² divise z²

2. Montrer que d divise z en utilisant les décompositions en facteurs premiers de z,d,z²,d².

La je n'ai aucune idée

3. On pose x=dx' et y=dy' et z=dz'. Montrer que (x',y',z') est une solution

La aussi aucune idée

4. Supposez que x' et y' sont impair et montrer que z'² est de la forme 4p+2.

C'est bon j'ai réussi

5. Prouver qu'un carré ne peut pas être de cette forme

C'est bon j'ai montrer qu'un carré ne pouvait être congru quà 0 ou 1 modulo 4
donc il y a une absurdité avec la question 4


Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
La décomposition en un produit de nombre premiers d'un entier c'est ce que l'on fait quand on écrit :
(2 et 3 sont premiers)
( 2,5 et 7 sont premiers)
L'écriture "théorique" générale d'un entier n est :
où sont des nombres premiers distincts et sont des nombres entiers non nuls.

Connaissant l'écriture sous cette forme de deux entiers n et m, sait tu ce que l'on doit regarder pour savoir si n divise m ?
Exemple divise t'il ?


Pour le 3), on ne peut pas faire plus simple comme question : que devient l'équation de départ si tu remplace x par dx', y par dy' et z par dz' ?

[chtirico]

je ne sais pas la condition pour que n divise m

[Ben314]

Cette condition n'est pas difficile à trouver.
Essaye sur mon exemple (sans calculer à la machine la valeur de n et de m)
Existe t'il un entier k tel que
?
Evidement, il faut voir l'entier k sous forme d'un produit de nombre premiers avec des exposants...

[chtirico]

il faut que k soit le pgcd de n et m ?

[Ben314]

il faut que k soit le pgcd de n et m ?

Non (essaye de réfléchir au lieu d'inventer des trucs faux...)

Une autre façon de voir les chose, c'est de dire que, n divise m lorsque est un nombre entier.
Dans l'exemple que je t'ais donné, est-ce que c'est vrai ? pourquoi ?

[chtirico]

pour trouver k, il faudrait que tous les exposants du n soit plus petit que les exposants du m par exemple avoir n =2² x 3² et m = 2^4 x 3^5 x 5

[Ben314]

pour trouver k, il faudrait que tous les exposants du n soit plus petit que les exposants du m par exemple avoir n =2² x 3² et m = 2^4 x 3^5 x 5

C'est exactement ça.
Donc, pour que n divise m, il faut que les exposant dans la décomposition de n soient tous plus petits que ceux qui leur correspondent dans la décomposition de m.
Tu devrait en déduire que, pour que n² divise m², il faut absolument que m divise n (il suffit de regarder quelle est la décomposition en nombre premiers de n² et m²)