Sécante d'une fonction exponentielle

[neutrinou]

Bonjour,

Je dois prouver que le segment d'une sécante à une exponentielle entre les deux points d'intersection est toujours au dessus de l'exponentielle.
Je décide d'établir deux courbes, l'une f(x) fonction affine, l'autre g(x) exponentielle avec un point d'intersection de coordonnées (0,1) pour simplifier. J'attribue un coefficient directeur supérieur 1 à ma droite (pour des raisons qu'il me reste encore à peaufiner).
J'établis la fonction de la différence entre les valeurs des ordonnées des deux fonctions en composant la fonction h(x)= g(x)-f(x).
J'espère ainsi en étudiant ses variations tomber sur les points où elle s'annule, donc les points d'intersection (dont je connais déjà le premier, en 0.1).

Le problème, c'est que j'arrive sur une fonction du genre exp(x)-2x-1 et sa dérivée exp(x)-2. Quand je graphe, tout semble coller. h est négative entre les points d'intersection de g et de f. Donc je peux conclure que l'exponentielle est bien sous le segment de droite. Avant et après, très logiquement, c'est le contraire.

Mais je suis incapable de calculer les solutions de exp(x)-2x-1 . Je ne vois qu'une seule solution, x=0 (et la dérivée ne me semble pas suivre les règles). Je me demande si je suis bien réveillé.

J'ai aussi cherché la dérivée seconde et j'ai pu conclure à une concavité "dans le bon sens", qui colle aussi. Mais la concavité, c'est pas du programme et je ne sais pas gérer.

Plutôt qu'un grand seau d'eau sur la tête, j'aimerais une autre méthode pour avancer dans mon problème ? (car après recherche sur le net, la résolution de telles équations est bien au dessus de mon niveau).
Merci !

[Mimosa]

Bonjour

Je n'ai pas trop compris tes motivations, mais si tu veux étudier la fonction pas de problème. On a bien , donc est strictement décroissante sur et strictement croissante sur . Comme elle s'annule une fois sur chacun des deux intervalles et change donc de signe.

D'ailleurs, en traçant l'exponentielle et la droite on voit bien ce qui se passe...

[Lostounet]

Salut,

Si j'ai bien compris tu cherches à démontrer un fait général sur la fonction exponentielle: tout segment qui relie deux points de la courbe sera au-dessus de cette courbe systématiquement.

Cela porte un nom (tu l'as trouvé): la convexité de l'exponentielle.

Autant une preuve "avec un cas particulier" (par exemple en choisissant une certaine droite précise) peut se faire au niveau lycée en étudiant la fonction "différence" par dérivation, autant la preuve générale n'est pas facile au lycée.

Il existe une inégalité qui, une fois démontrée, aura montré que le segment sera "au-dessus", c'est l'inégalité que tu peux trouver dans ce pdf: http://stephane.gonnord.org/PCSI/Analyse/CONVEXES.PDF
page 2:

∀(x,y)∈I, ∀λ∈[0,1], f(λx+ (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y)

Bien entendu, ici on travaille avec la fonction f(x) = exp(x)....
Et pour comprendre le sens d'une telle inégalité (et en quoi elle répondrait au problème que tu poses?), tu peux prendre quelques valeurs particulières de lambda. Par exemple si lambda = 1/2, alors elle s'écrit exp((x+y)/2) <= [exp(x) + exp(y)]/2

Cela veut dire que si tu prends deux abscisses x et y, et que tu calcules leurs images exp(x) et exp(y) et que tu places le milieu du segment formé par les points A(x ; exp(x)) et B(y; exp(y)), de coordonnées I( (x + y)/2; exp(x+y)/2)

Puis tu calcules l'image de l'abscisse de I par f, tu trouverais un point d'ordonnée exp[(x + y)/2] qui serait au-dessous de I (et situé sur la courbe de f!). Fais un dessin...

Si tu prouves cette inégalité non seulement pour lambda = 1/2, mais aussi pour lambda = 1/3, lambda = 1/4..etc pour tous les lambdas dans [0,1] tu aurais effectivement prouvé que tous les points du segment sont toujours au dessus.

Donc pour résumer, ce qu'il faut idéalement prouver, c'est l'inégalité (pas si facile au lycée) suivante:


Bien entendu il existe des méthodes beaucoup plus bulldozer pour les fonctions dérivables comme l'exponentielle pour démontrer ce genre d'inégalités, mais cela ne fait pas partie des "outils de départ".

[neutrinou]

Oups ! Manifestement j'ai sous-évalué la difficulté.
Je pensais que je trouverais presque aussi facilement que de prouver que la tangente est toujours en dessous de l'exponentielle. Avec l'explication, je comprends... et je comprend aussi l'ampleur du problème.
J'ai commencé à lire la référence. Mais je pense que je vais passer. Au moins ça m'a permis d'avoir des perspectives intéressantes et de jeter un coup d'oeil dans la cour des grands, c'est déjà pas mal.
Merci encore à tous.