Salut!

[hajar MT]

j'ai besoin d'aide pour cet exercice
soit a, b et c positives montrerque sqrt(2a/(a+b))+sqrt(2b/(c+b))+sqrt(2c/(a+c))<3

[Carpate]

j'ai besoin d'aide pour cet exercice
soit a, b et c positives montrerque sqrt(2a/(a+b))+sqrt(2b/(c+b))+sqrt(2c/(a+c))<3

Pas d'autre hypothèses sur a,b,c que positifs ?

[hajar MT]

Pas d'autre hypothèses sur a,b,c que positifs ?

oui il n y a pas d'autres hypothéses

[Ben314]

Salut,
Si on pose ; et donc avec et ton énoncé revient à montrer que
Or, pour un produit fixé, si on étudie (pour )
on a
donc et ) lorsque et celà donne le résultat escompté.

P.S. : il doit y avoir plus simple en utilisant les fonctions symétriques élémentaires...

[hajar MT]

merci beaucoup
ms je n'ai pas bien compris ce passage :(Or, pour un produit xy=a>0 fixé, si on étudie (pour x>0) \ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}} = (1+x)^{-\frac{1}{2}} + (1+\frac{a}{x})^{-\frac{1}{2}} )
comment vous avez éliminé le "z"

[Ben314]

Je "n'élimine" pas le z : je considère juste, dans un premier temps que c'est une constante fixée et je regarde quel est le maximum de la somme des deux autres termes (pour rendre la plus frand possible une somme de 3 termes dont un des trois est fixé, ben il suffit de maximiser la somme des deux autres...)

De toute façon, ce que j'ai fait, ça déconne sur la fin : je m'était gourré dans les calculs la première fois et quand j'ai rectifié, je me suis retrouvé avec le facteur x²+a(a-3)x+a lors du calcul de f'>0 et ce facteur n'est pas forcément positif (ça dépend si a>4 ou pas).
Ca marche quand même, mais ça rallonge vachement la preuve vu qu'il faut déterminer les racines de x²+a(a-3)x+a et faire pas mal de calculs avec ces racines...

Tout ça pour conclure que je pense qu'il y a nettement plus simple mais bon, j'ai pas trouvé... :hum:

A mon avis, tu devrais mettre ton énoncé dans la rubrique "olympiades" du forum : je ne pense pas que ce soit un truc "usuel" qu'on demande à un lycéen en françe ton inégalité.

[hajar MT]

merci beaucoup
maintenant, j'ai compris

[MMu]

Salut,
Si on pose ; et donc avec et ton énoncé revient à montrer que
Or, pour un produit fixé, si on étudie (pour )
on a
donc et ) lorsque et celà donne le résultat escompté.

P.S. : il doit y avoir plus simple en utilisant les fonctions symétriques élémentaires...

Ça ne marche pas puisque pour la borne supériere de est toujours
:zen:

[Ben314]

j'avais déjà signalé que c'était faux :

...je m'était gourré dans les calculs la première fois et quand j'ai rectifié, je me suis retrouvé avec le facteur x²+a(a-3)x+a lors du calcul de f'>0 et ce facteur n'est pas forcément positif (ça dépend si a>4 ou pas)...

De plus, la borne supérieure de f n'est jamais 1.
Si c'est
Si c'est où et désignent les deux racines de (donc et on est sûr que est entre les deux)

[MMu]

Ben , restons en là, j'avais répondu uniquement à ton premier message pour dire que pour , ne peut pas être LE maximum de .
Je donnerai ma solution sur l'autre fil que t'as ouvert.. :zen:

[hajar MT]

emm
j'ai oublieé ce que j'ai fait ms j'ai poser f(x) comme vous avez dit et aprés j'ai faire quellque chose et je passe a la limite, et je ponse que ca marche
merci beaucoup Ben314
merci vous tous