Salut salut salut....

[titi]

Bonjour et tout d'abord merci de m'accorder de votre temps !!!

Voila je m'entraine sur les équa.diff. et direct je n'arrive pas à faire les premières questions de mon exo alors si quelqu'un peut me donner les réponses (pour 'info. c'est le sujet antilles-guyanne juin 2003)...

On veut résoudre sur R l'équa.diff. (E):
y'-2y=2(e2x(en puissance) - 1)
1/- mq la fonction h définie sur R par h(x)=2xe(2x)en puissance +1 est solution de (E)
2/-On pose y=z+h
Mq y est solution de (E) ssi z est solution de (E') z'-2z=0 et résoudre (E') et en déduire les solut° de (E)
3/- Mqu'il existe 1solution unique de (E) s'annulant en 0;On notera g cette solution.



Merci de bien vouloir m'aider et à bientôt !!!!

[Daragon geoffrey]

slt
pour la première remplaces ds (E) par la fct h sachnt que h'=2e^(2x) *[1 +2x], tu dois retomber sur l'égalité demandée !
ensuite, y solution de (E') équiv à y'-2y=2e^(2x)-1, équiv à z'+h'-2z-2h=0 or d'aprè 1), h solution de (E) équiv à h'-2h=2e^(2x)-1 d'où en substituant on a z' -2z +2e^(2x) -1 =2e^(2x)-1 et en simpifiant on retrouve bien z'-2z=0, CQFD !pour la suite, je pense que ça devré aller ! @ +

[Daragon geoffrey]

slt j'te donne tt de même une méthode assez rigoureuse pour résoudre (E') : z'-2z=0 équiv à z'/z=2, en intégrant on obtient alors ln|z|=2*Sdx équiv à ln|z|=2x+K équiv à z=e^(2x + K) équiv à z=e^K * e^(2x) ! rq : e^K est une constante ! ensuite pour trouver y tu remplaces par h et z qui sont connues et à laide des conditions initiales, tu identifies la constante e^K=... @ +

[Zebulon]

slt j'te donne tt de même une méthode assez rigoureuse pour résoudre (E') : z'-2z=0 équiv à z'/z=2, en intégrant on obtient alors ln|z|=2*Sdx équiv à ln|z|=2x+K équiv à z=e^(2x + K) équiv à z=e^K * e^(2x) ! rq : e^K est une constante ! ensuite pour trouver y tu remplaces par h et z qui sont connues et à laide des conditions initiales, tu identifies la constante e^K=... @ +

Bonjour Daragon Geoffrey,
il y a une étape qui n'est pas très rigoureuse dans ce que tu as fait:
quand tu passes à , tu enlèves la valeur absolue, et il ne faut pas!

Elle est indispensable. En effet, on a:
avec C appartenant à . Comme c'est |z| et pas z, on a:
ou donc avec k appartenant à .
Enfin, la fonction nulle est solution donc elle peut s'écrire .

Tout ça pour exliquer pourquoi dans "les solutions de l'équation homogène sont les fonctions " c'est bien C appartenant à " et pas à .

Remarque : en général, les solutions de l'équation différentielle y'-ay=0 sont les fonctions . On l'obtient par la même méthode.

[Daragon geoffrey]

daccord, merci Zeb !