[Défi 1°S] Révisions polynômes

[Dinozzo13]

Bonsoir, je poste ce soir un petit défi à l'attention de ceux et celle qui souhaiterais réviser/approfondir un peu sur les polynômes. Amusez-vous bien.

Soit le polynôme défini par :
1°)a) Vérifier que n'est pas racine de ce polynôme.
b) Que peut-on en déduire concerant le réel ?
2°) Montrer que si est racine de alors est aussi racine de .
3°) On pose .
a) Montrer que :
b) Exprimer en fonction de ; calculer les racines du trinôme d'inconnue ainsi obtenu.
c) En déduire les solutions de .

Une correction détaillée sera disponible en cas de besoin :++:
Bon travail :++:

[Lostounet]

Soit le polynôme défini par :
1°)a) Vérifier que n'est pas racine de ce polynôme.
b) Que peut-on en déduire concerant le réel ?

Salut!

1) a - On remplace x par 0 pour trouver que.. cette valeur n'annule pas le polynôme! - Donc...
b - Que P(0) est non nul?

Pour celle qui suit, je n'arrive pas :triste:
Des pistes?

Merci d'avance

[ffpower]

Précise un peu l'énoncé du 1-b) parce que c est pas clair du tout. Tu demandes de déduire quelque chose sur un réel x que tu n'as pas défini..

[Dinozzo13]

Oui en effet, j'ai mal posé la question, excusez-moi :
j'aurai du dire :
1°)b) Quel remarque peut-on faire concernant le réel x s'il est racine de P ? Mais je trouvais que ca guidais trop mais bon.
:++:

@Lostounet : a racine de P implique ?
Calcule et montre donc que

[Lostounet]

Oui en effet, j'ai mal posé la question, excusez-moi :
j'aurai du dire :
1°)b) Quel remarque peut-on faire concernant le réel x s'il est racine de P ? Mais je trouvais que ca guidais trop mais bon.
:++:

@Lostounet : a racine de P implique ?
Calcule et montre donc que

a racine de P implique P(a) = 0.. :briques:

Sinon, je trouve:

Sauf erreur..

Je joue avec l'écriture jusqu'à ce que je trouve quelque chose? :id:
Faudrait que je trouve que P(a) = P(-a/3)
Et si a racine, donc - a/3 l'est aussi?

[Anonyme]

C’était pas ? :zen:

[Dinozzo13]

Met tout au même dénominateur puis montre que le numérateur est nul :++:

[Dinozzo13]

C’était pas ? :zen:

Oui, il a raison, attention Lostounet

[Anonyme]

On obtient alors:





ce qui conclue la demo.

Au fait Dinozzo sait tu d’où peut provenir ce

[Dinozzo13]

Alors je savais en construisant cette énoncé, mais je ne sais plus trop maintenant.
Mais il me semble que cela a un rapport avec le +9 du P(x).
Car j'ai déjà vu et fait ce genre d'exo avec -2/a par exemple.
Par contre ce que je suis sur, c'est que concernant le coefficient des termes en x², peu importe la valeur qu'on lui attribue, alors ca marche aussi.
ex : soit m un paramètre réel, il me semle donc que si a est racine de x^4-4x^3+mx^2+12x+9 alors -3/a l'est aussi.
Mais, je chercherai concerant la provenance de -3/a :++:

[beagle]

si cela se trouve ton polynome puissance 4 est le produit de 2 polynomes puissance 2, avec (...+...+3)(...+...+3)
et on a appris au collège avec ton exo que la soluce, si soluce a alors -3/a soluce,
sauf que t'as lachement laissé tomber les collégiens sans dire-expliquer pourquoi trois quoi.

[Ben314]

En fait, la "méthode" préconisés par Dinozzo marche pour tout polynôme
tel que (et effecivement quelconque)

Ca marcherais aussi pour tout polynôme
tel que et

[Dinozzo13]

Voilà, j'ai sorti mon joker ^^
Oui, et de plus cela a un rapport aussi avec le fait que quand on calcule P(-3/a) on retrouve le polynôme P mais les coefficient sont retrouvés dans l'ordre inverse

[Dinozzo13]

Puisqu'on est en ce moment dans les polynômes, je propose un autre exo dessus :

Soit le polynôme suivant :
On suppose que admet trois racines distinctes et
1°) Montrer qu'il est possible de déterminer :



Sans calculer les racines.
En déduire la valeur de :

[Olympus]

1°)

Soient les trois racines ( réelles ou non ) de notre polynôme .

On a

Or, il est facile de vérifier que .

Donc .

Par identification, on aura :



Or, comme 0 n'est pas une racine de notre polynôme, sont donc non-nulles .

On a .

CQFD .

[Dinozzo13]

Encore un autre ^^

Soit le polynôme de paramètre réel non nul défini par :

1°) Déterminer, suivant les valeurs du réel non nul , le nombre de racine de
2°) Factoriser
3°) Pour quelle(s) valeur(s) de non nul :
a) admet une racine quadruple
b) est le carré d'un trinôme.

joli

[Dinozzo13]

J'en rajoute un petit ^^
Déterminer les réels et pour que le polynôme défini par :
, admet une racine quadruple.

[Dinozzo13]

Entre parenthèse, petite question :
Est-ce que tout les polynôme à coefficients symétriques de degré , admettent toujours racines ?

[Ben314]

Des racines dans R ou dans C ?
Si c'est dans R, le polynôme P(x)=x^n+1 (qui est bien à coeff symétriques) montre qu'il peut n'y avoir que trés peu de racines réelles.
Sinon, le polynôme (x+1)^n (qui est à coeff symétriques) admet lui aussi "peu" de racines, même dans C...

[Dinozzo13]

Ah oui, pas bête :ptdr: donc : non, pas nécessairement