Reste d'une division de polynomes

[steph735]

Bonjour,

voilà l'intitulé du problème :
Trouver le reste de la division de P(x) = x^n + x + 1 par (x-1)² où n est un entier naturel supérieur ou égale à 2 .

Je pensais m'aider de congruence ou d'un raisonnement par récurrence mais ça ne me donne rien...
voilà merci pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Le reste de la division d'un polynôme par (x-1)² (qui est de degré 2) est forcément de degré strictement plus petit que 2.
Tu peut donc écrire que : et, ce que tu cherche, c'est et et tu n'a rien à faire de Q (qui est le quotient).
Un idée assez facile pour "faire disparaitre Q", c'est de prendre x=...
Une idée un peu plus astucieuse, lièe au fait que le (x-1) est au carré consiste à commencer par dériver la relation puis à remplacer x par ...

P.S. : tu peut aussi évaluer le reste pour n=2, n=3, n=4, n=5,... jusqu'à ce que tu "voie" quelle est la formule générale puis, tu démontre ta conjecture en faisant une récurrence.

[steph735]

Merci beaucoup pour votre réponse! Je n'avais pas réalisé que le reste dépendait de x et que l'on pouvait choisir un x particulier...

[Ben314]

Comme souvent, on ne vois pas bien car on écrit (comme je l'ai moi même fait) :

alors que, pour rédiger "super propre", on devrait systématiquement écrire :
Pour tout réel x, on a (ou plutôt "on veut que")
Phrase dans laquelle il est beaucoup plus clair que l'on peut prendre x=... ou bien x=...