Résoudre une équation par dichotomie.

[Aureloxx32]

Bonjour tout le monde,j'ai besoin d'aide. Voici l'exercice:

La fonction f est definie sur [0;+infinie[ par f(x) = (x^3+x^2-2x-3)/(x+1)
1) Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x de [0;+infinie[ on ait
f(x)=x^2+a+(b/x+1)

2) soit u et v les fonctions définies sur [0;+infinie[ par :

u(x)=x² et v(x)=-2-(1/x+1)

a) déterminer le sens de variation de u et v sur l'intervalle [0;+infinie[
b)en déduire le sens de variation de la fonction f sur [0;+infinie[
dresser le tableau de variation de f
c)Calculer f(1) et f(2)
en déduire que sur [0;+infinie[ l'équation f(x)=0 admet une unique solution alpha et que cette solution appartient à l'intervalle [1;2]

Merci d'avance.

[Anonyme]

Je te propose

1) de développer l'expression f(x)=x^2+a+(b/x+1) ( c'est à dire : mettre au même dénominateur)

2) puis d'identifier l'expression obtenue en 1) avec f(x) = (x^3+x^2-2x-3)/(x+1)

La question 2) va te permettre d'obtenir 2 équations à 2 inconnues à résoudre

Note)
"L'identification" permet de déduire des égalités entre coefficient entre les 2 expressions qui sont égales quelque soit la valeur de
(ici est quelconque avec )

[C.Ret]

Bonsoir,

La fonction f est definie sur [0;+infinie[ par f(x) = (x^3+x^2-2x-3)/(x+1)
1) Déterminer deux réels a et b tels que pour tout x de [0;+infinie[ on ait
f(x)=x^2+a+(b/x+1)

2) soit u et v les fonctions définies sur [0;+infinie[ par :

u(x)=x² et v(x)=-2-(1/x+1)

a) déterminer le sens de variation de u et v sur l'intervalle [0;+infinie[
b)en déduire le sens de variation de la fonction f sur [0;+infinie[
dresser le tableau de variation de f
c)Calculer f(1) et f(2)
en déduire que sur [0;+infinie[ l'équation f(x)=0 admet une unique solution alpha et que cette solution appartient à l'intervalle [1;2]

Il n'y a pas de dichotomie dans cet excercice, tout au moins pas directement.
J'ajoute donc une troisième question :

3)a) Calculer f(1.5) et comparez son signe à ceux de f(1) et f(2) afin d'en déduire un nouvel intervalle pour la solution alpha de l'équation f(x)=0.
b) Evaluer f au centre de ce nouvel intervalle et répéter l'opération afin de réduire la taille de l'intervalle contenant la solution alpha.
c) Combien de fois faudra-t-il répéter cette opération si l'on veut estimer alpha à 0.0001 près ?

Sinon, pour 1), il faut réaliser la division euclidienne du numérateur par le dénominateur de f(x). Cela devrait permettre par analogie de déterminer les valeur de a et b.

Pour 2), évidemment connaissant a et b, on doit pouvoir comprendre le lien entre v, u et f.
J'espère que les sens de variations ne posent aucun problème en 2a) !
Pour 2b) J'imagine que les sens de variation de u et v permettent de donner immédiatemetn le sens de variation de f

ATTENTION en notation, ajouter les parenthèses tel qu'écrit ci-dessus, v(x) n'est pas définie pour x=0 !!!

Ce ne serait pas plustôt v(x)=-2 -1/(x+1) ??