Résoudre une équation diophantienne spéciale

[Grizet]

Bonjour, je dois résoudre cette équation qui admet, s'il y a, des solutions entières : .

J'ai trouvé des solutions évidentes .

Je ne sais pas s'il en existe d'autres. En fait en travaillant dans , on s'aperçoit vite que ce sont les seules solutions, je crois (car les valeurs augmentent vite et dépassent ). Du coup, il faudrait envisager des exposant négatifs et des fractions, où je suis bloqué.

Merci de votre aide, et bon noël

[Pseuda]

Bonjour,

Quelques évidences immédiates :

- (0,y) et (x,0) sont les seules solutions sur N² (sachant que (0,0) n'est pas solution).

- sur Z², hormis ces solutions, pour x<>0 et y<>0, x et y sont de signes opposés ; on peut supposer x<0 et y>0, alors y est impair ; mais y^x est une fraction de numérateur 1 tandis que x^y est un entier, donc pas de solutions (facile à montrer).

Je laisse aux autres sur QxZ (je pense qu'il n'y a pas de solutions) et sur QxQ.

[zygomatique]

salut





donc x ou y est nul ...