Resolution Systeme [TS]

[Anonyme]

Bonjour

j'ai une equation de Sphere : x² + (y - 1/2 )² + (z- 1/2)² = 1/6
et cette equation de Plan : -x + y/2 + z/2 = 0

Comment determiner le point d'intersection entre la Sphere et le plan, car
ils sont Tangents

Merci

[Anonyme]

"sylvain emeric" a écrit dans le message news:
407db758$0$18235$626a14ce@news.free.fr...
> Bonjour
>
> j'ai une equation de Sphere : x² + (y - 1/2 )² + (z- 1/2)² = 1/6
> et cette equation de Plan : -x + y/2 + z/2 = 0
>
> Comment determiner le point d'intersection entre la Sphere et le plan, car
> ils sont Tangents
>
> Merci
>
Ils sont effectivement tangents...
Le vecteur n de coordonnées (-1, 1/2, 1/2) est normal au plan.
La sphère a pour centre le point A(0, 1/2, 1/2).
Il faut écrire une représentation paramétrique de la droite D passant par A
et orthogonal au plan, donc de vecteur directeur n. Une telle représentation
est :
x = -k
y-1/2 = k/2
z-1/2 = k/2
On cherche alors le point d'intersection H de D et du plan en trouvant
d'abord k puis les coordonnées x,y,z de H. On trouve facilement (1/2, 1/4,
1/4) ...

--
Un logiciel gratuit pour tracer vos courbes :
http://perso.wanadoo.fr/patrice.rabiller/SineQuaNon/menusqn.htm

[Anonyme]

merci, c vrai que j'avais pas pensé au equation parametrique d'une droite

"Patrice Rabiller" a écrit dans le message de
news:c5l3am$ch2$1@news-reader1.wanadoo.fr...
>
> "sylvain emeric" a écrit dans le message news:
> 407db758$0$18235$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > Bonjour
> >
> > j'ai une equation de Sphere : x² + (y - 1/2 )² + (z- 1/2)² = 1/6
> > et cette equation de Plan : -x + y/2 + z/2 = 0
> >
> > Comment determiner le point d'intersection entre la Sphere et le plan,[/color]
car[color=green]
> > ils sont Tangents
> >
> > Merci
> >
> Ils sont effectivement tangents...
> Le vecteur n de coordonnées (-1, 1/2, 1/2) est normal au plan.
> La sphère a pour centre le point A(0, 1/2, 1/2).
> Il faut écrire une représentation paramétrique de la droite D passant par[/color]
A
> et orthogonal au plan, donc de vecteur directeur n. Une telle
représentation
> est :
> x = -k
> y-1/2 = k/2
> z-1/2 = k/2
> On cherche alors le point d'intersection H de D et du plan en trouvant
> d'abord k puis les coordonnées x,y,z de H. On trouve facilement (1/2, 1/4,
> 1/4) ...
>
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> http://perso.wanadoo.fr/patrice.rabiller/SineQuaNon/menusqn.htm
>
>

[Anonyme]

c pas plutot (1/3, 1/3, 1/3) ???

"Patrice Rabiller" a écrit dans le message de
news:c5l3am$ch2$1@news-reader1.wanadoo.fr...
>
> "sylvain emeric" a écrit dans le message news:
> 407db758$0$18235$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > Bonjour
> >
> > j'ai une equation de Sphere : x² + (y - 1/2 )² + (z- 1/2)² = 1/6
> > et cette equation de Plan : -x + y/2 + z/2 = 0
> >
> > Comment determiner le point d'intersection entre la Sphere et le plan,[/color]
car[color=green]
> > ils sont Tangents
> >
> > Merci
> >
> Ils sont effectivement tangents...
> Le vecteur n de coordonnées (-1, 1/2, 1/2) est normal au plan.
> La sphère a pour centre le point A(0, 1/2, 1/2).
> Il faut écrire une représentation paramétrique de la droite D passant par[/color]
A
> et orthogonal au plan, donc de vecteur directeur n. Une telle
représentation
> est :
> x = -k
> y-1/2 = k/2
> z-1/2 = k/2
> On cherche alors le point d'intersection H de D et du plan en trouvant
> d'abord k puis les coordonnées x,y,z de H. On trouve facilement (1/2, 1/4,
> 1/4) ...
>
> --
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> http://perso.wanadoo.fr/patrice.rabiller/SineQuaNon/menusqn.htm
>
>

[Anonyme]

"sylvain emeric" a écrit dans le message news:
407eeee8$0$15656$626a14ce@news.free.fr...
> c pas plutot (1/3, 1/3, 1/3) ???
Si, tu as raison. J'aurais dû vérifier mes calculs.

--
Un logiciel gratuit pour tracer vos courbes :
http://perso.wanadoo.fr/patrice.rabiller/SineQuaNon/menusqn.htm

[Anonyme]

c pas grave, l'essentiel c que tu m'ai mit sur la voie merci encore
"Patrice Rabiller" a écrit dans le message de
news:c5muen$mtr$1@news-reader4.wanadoo.fr...
>
> "sylvain emeric" a écrit dans le message news:
> 407eeee8$0$15656$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
> > c pas plutot (1/3, 1/3, 1/3) ???
> Si, tu as raison. J'aurais dû vérifier mes calculs.
>
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> http://perso.wanadoo.fr/patrice.rabiller/SineQuaNon/menusqn.htm
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>[/color]

[Anonyme]

Une autre daçon d'aborder le problème (pas forcément la plus simple, mais
intéressante au niveau analyse)
Il est clair que A, centre de la sphère, a comme coordonnées (0,1/2,1/2)
Soit M0 (x0,y0,z0) un point situé sur la sphère
Soit P0, le plan tangent à la sphère au point M0
Soit M (x,y,z) un point de ce plan tangent

P0 étant tangent à la sphère, le produit scalaire M0M.AM0 (avec des flèches au
dessus) est nul puisque les deux vecteurs sont orthogonaux.
Ce qui donne l'expression analytique du plan tangent en M0:

(x-x0)(x0-0) + (y-y0)(y0-1/2) + (z-z0)(z0-1/2) = 0

C'est, au passage, la forme différentielle de le fonction "sphère(x,y,z)" au
point M0

Après développement et sachant que M0 est un point de la shère

xx0+y(y0-1/2)+z(z0-1/2) = 1/6 + 1/2(y0+z0-1)

Par analogie avec le plan tangent de l'énoncée : -x+y/2+z/2=0
On serait tenté d'écrire x0=-1, y0-1/2= 1/2 et z0-1/2 = 1/2 ce qui est faux!!!

En réalité (et c'est là le piège) le plan P s'écrit -kx +(k/2)y + (k/2)z=0
quelquesoit k appartenant à R*
Par exemple, pour k= -2, 2x-y-z=0 est aussi l'équation de P

En conséquence, toujours par analogie avec l'énoncée, on a cette fois:
x0=-k, y0-1/2=k/2, z0-1/2=k/2 et 1/6 +1/2(y0+z0-1) = 0
4 équations e 4 inconnues (x0,y0,z0,k) qui donnent comme solution
x0=1/3, y0=1/3, z0=1/3 pour k = -1/3
c'est ce que vous avez trouver
cqfd

Bonne continuation
PG









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