Résolution d'un problème à l'aide de matrices

[Yousra20]

Bonjour, bonsoir tout le monde

Alors, voilà j'ai un DM à faire pour la rentrée, petit problème : je bloque à une des questions, si vous pourriez m'aider ce serait gentil de votre part..


Problème :
Une ville tropicale compte un million d'habitants. Un insecte transmet un virus aux habitants. On ne connait pas de traitement contre ce virus qui est fort heureusement non mortel.
Les habitants se répartissent en trois catégories ( sains, malades, immunisés )
Chaque mois, on observe les phénomènes suivants :
-25% des habitants sains sont contaminés et tombent malades
-5% des habitants sains deviennent spontanément immunisés
-40% des malades guérissent et deviennent immunisés
-5% des habitants immunisés perdent leur immunité mais reste sains.

On note xn, yn, zn les nombres respectifs d'habitants sains, malades et immunisés ( en milliers d'habitants) à un moment donné et xn+1, yn+1, zn+1 les nombres respectifs d'habitants sains, malades et immunisés ( en milliers d'habitants ) un mois après.

Pour tout n on note Xn = (xn)
(yn) = c'est une matrice une colonne, trois ligne.
(zn)

On sait qu'en janvier 2010 on avait X1 = (700)
(250) = matrice une colonne, trois ligne encore
(50)




1. Montrez que pour tout n, on a Xn+1 = AXn avec A = (0,7 0 0,05)
(0,25 0,6 0 ) : matrice 3X3 ( :S )
(0,05 0,4 0,95 )


J'ai déjà répondu à cette question en calculant d'abord A*Xn


2. Calculez Xo. Comment interpretez vous ce résultat?

C'est ici que je bloque, je ne sais pas comment calculer Xo.. mais je sais que la matrice donnée nous donnera le nombre de malades, sains et immunisés au tout début.



Aidez moi s'il vous plait !!!! et je suis désolée d'avoir presenter les matrices de cette manière là, je ne pouvais faire autrement... J'espère que vous réussirez à comprendre

[hammana]

Bonjour, bonsoir tout le monde

Alors, voilà j'ai un DM à faire pour la rentrée, petit problème : je bloque à une des questions, si vous pourriez m'aider ce serait gentil de votre part..


Problème :
Une ville tropicale compte un million d'habitants. Un insecte transmet un virus aux habitants. On ne connait pas de traitement contre ce virus qui est fort heureusement non mortel.
Les habitants se répartissent en trois catégories ( sains, malades, immunisés )
Chaque mois, on observe les phénomènes suivants :
-25% des habitants sains sont contaminés et tombent malades
-5% des habitants sains deviennent spontanément immunisés
-40% des malades guérissent et deviennent immunisés
-5% des habitants immunisés perdent leur immunité mais reste sains.

On note xn, yn, zn les nombres respectifs d'habitants sains, malades et immunisés ( en milliers d'habitants) à un moment donné et xn+1, yn+1, zn+1 les nombres respectifs d'habitants sains, malades et immunisés ( en milliers d'habitants ) un mois après.

Pour tout n on note Xn = (xn)
(yn) = c'est une matrice une colonne, trois ligne.
(zn)

On sait qu'en janvier 2010 on avait X1 = (700)
(250) = matrice une colonne, trois ligne encore
(50)




1. Montrez que pour tout n, on a Xn+1 = AXn avec A = (0,7 0 0,05)
(0,25 0,6 0 ) : matrice 3X3 ( :S )
(0,05 0,4 0,95 )


J'ai déjà répondu à cette question en calculant d'abord A*Xn


2. Calculez Xo. Comment interpretez vous ce résultat?

C'est ici que je bloque, je ne sais pas comment calculer Xo.. mais je sais que la matrice donnée nous donnera le nombre de malades, sains et immunisés au tout début.



Aidez moi s'il vous plait !!!! et je suis désolée d'avoir presenter les matrices de cette manière là, je ne pouvais faire autrement... J'espère que vous réussirez à comprendre

!

Supposons qu'au début du mois il ya : xo sains, yo malades et zo immunisés
et à la fin du mois il y a : x1 sains, y1 malades et z1 immunisés
Vous avez déjà démontré les relations;

Code: Tout sélectionner

x1=0.7xo+0yo+0.05zo
y1=0.25xo+0.6yo+0zo
z1=0.05xo+0.4yo+0.95zo


On sait qu'à la fin dun mois on a x1=700, y1=250, z1=50
on calcule xo, yo, zo en résolvant le système de 3 équations ci-dessus par les méthodes élémentaires ou en multipliant la matrice x1, y1 z1 par la matrice INVERSE

(Vous allez trouver qu'au début du mois tout le monde étaient sains)

[Yousra20]

!

Supposons qu'au début du mois il ya : xo sains, yo malades et zo immunisés
et à la fin du mois il y a : x1 sains, y1 malades et z1 immunisés
Vous avez déjà démontré les relations;

Code: Tout sélectionner

x1=0.7xo+0yo+0.05zo
y1=0.25xo+0.6yo+0zo
z1=0.05xo+0.4yo+0.95zo


On sait qu'à la fin dun mois on a x1=700, y1=250, z1=50
on calcule xo, yo, zo en résolvant le système de 3 équations ci-dessus par les méthodes élémentaires ou en multipliant la matrice x1, y1 z1 par la matrice INVERSE

(Vous allez trouver qu'au début du mois tout le monde étaient sains)

On a donc trois matrices, une avec les inconus (Xn), X1 et A donc on doit calculer : X = MATRICE INVERSE DE A * X1 ?


Merci beaucoup