Résolution équation trigonométrie

[clementine]

Bonjour,
Mon professeur nous à donner la correction d'exercice de trigonométrie, mais je ne comprend pas la correction. En effet, il trouve par exemple 4 solutions alors que je n'en trouve que 2 à l'aide du cercle trigonométrique pour l'équation suivante:

-sin 2x=-1/racine 2 sur l'intervalle ]-pi;pi]

La correction du prof dit que l'ensemble des solutions sont S={-7pi/8 ,-5pi/8 , pi/8 , 3pi/8}
Et je ne comprend pas pourquoi.

Merci d'avance pour votre aide.

[infernaleur]

Salut,
Quand tu travailles en trigo il faut faire attention à un truc important :
Tu as pas une ou deux solutions pour une equation de ce type mais une infinité dans R !!!

En effet, par exemple pour resoudre cos(x)=0 dans R.
A première vue en regardant le cercle on pourrait dire que les seules solutions sont pi/2 et -pi/2. Mais rappel toi que si tu tourne de 2pi dans ton cercle trigo à partir d’un point tu retombe sur ce point. Donc pi/2 +2pi et -pi/2+2pi sont aussi solution, mais si tu tourne encore de 2pi tu retrouve cosx=0 donc tu peux encore ajouter 2pi à tes solutions ce qui est te donne comme solution en plus pi/2+2pi+2pi=pi/2+4pi ou -pi/2+4pi.
(Fais le dans’ le cercle trigo pour t’en convaincre ).
Bref en continuant tu vois bien qu’il y a une infinité de solution et les solutions sont de la forme x=pi/2+2kpi ou x=-pi/2+2kpi ou k est un entier

Retournons à ton exemple :
Toi je pense que tu as regardé dans ton cercle trigo pour quelle valeurs de 2x on a sin(2x)=1/racine(2) et tu as dit c’est pour 2x=pi/4 ou 2x=3pi/4 et tu as donc dit que x=pi/8 ou x=3pi/8 sont les seuls solutions. Mais attention !! Comme tu as vu dans l’exemple avec cosx=0 en ajoutant 2pi a tes solutions tu trouveras une infinité de solutions.
Et donc les solutions sur R de ton equation sont 2x=pi/4+2kpi ou 2x=3pi/4 +2kpi avec k entier.
(Attention, on écrit d’abord les solutions générales puis on divise par 2!!!)

Or la, l’intervalle sur lequel on travaille est réduit à ]-pi,pi[ à toi d’en déduire les solutions qu’en lon garde.

[pascal16]

Avec juste la notion de congruence

-sin 2x=-1/racine 2 sur l'intervalle ]-pi;pi]

2x= a ou b modulo 2 pi
mais quand on divise par 2
x= a/2 ou b/2 modulo pi
cela te fait apparaître 2 nouvelles solutions dans ]-pi;pi]
(c'est à par ex la moitié de (l'angle + 2pi) que tu vois sur le cercle trigo pour 2x)