Voici lénoncé :
Méthode de Newton : les fonctions dérivables sont assimilables à leur tangente, aux voisinage du point de tangence, à condition que le nombre dérivé ne varie pas trop sur ce voisinage.
Supposons que lon ait identifié un intervalle I qui contient une solution, notée a, de léquation f(x)=0, où f est une fonction dérivable. Prenons une valeur x0 dans dintervalle I qui servira de première approximation de a.
(cf image)
On construit une nouvelle approximation x1 de a de la façon suivante :
*on considère la tangente T0 au point de la courbe de f dabscisse x0.
*x1 est labscisse du point dintersection de T0 avec laxe des abscisses.
On construit x2 en prenant pour valeur de départ x1 et en réitérant le procédé précédent.
Questions :
1. Soit f une fonction derivable sur I dont la dérivée ne sannule pas sur I. Soit x0 appartient à I. Montrer que si lon applique la méthode de Newton à f avec x0 comme valeur initiale, alors x1=x0- f(x0)/f(x0)
2. Application. On cherche une approximation de racine de 5, solution de léquation x^2-5=0. Soit f(x)= x^2-5, définie sur R.
(a)Soit x0=100. Calculer x1, puis calculez x2 en prenant x1 comme valeur de départ.
(b)Soit n appartient à N. Si lon appelle xn la valeur de départ, montrer que la nouvelle approximation xn+1 de la solution de léquation f(x)=0 obtenue par la méthode de Newton vérifie : xn+1 =1/2 ( xn + 5/xn)
(c) Par comparaison avec la valeur de racine de 5 donnée par votre calculatrice, en partant de x0=100, à partir de quelle valeur de n obtient-on que valeur absolue de (xn- racine de 5) <=10^-6
3. On considère que cette fois léquation x^3-2x+2=0 et la fonction g(x)= x^3-2x+2 de courbe représentative Cg dans un repère donné.
(a)Calculez les termes x1, x2, x3, x4, obtenus en prenant x0=0 et en appliquant la méthode de Newton à la fonction g. Que constatez-vous ?
(b)Illustrez ce phenomena grapiquement en représentant graphiquement la fonction g sur [-2 ;2] ainsi que les tangentes aux points de Cg dabscisse x0 et x1 .