Résolution équation 3ème degré

[Volvic]

merci Lostounet!
donc dans une équation de 3ème degré:
-le produit des racines est toujours égal à la constante de l'équation?
-la somme des racines est toujours égale au coefficient du terme au carré?

Et le produit des racines vaut -30

pourquoi as-tu changé le signe de la constante?

On constate que 3 et 5 fonctionnent et on s'arrête (car il y en a au plus 2 positives).

comment as-tu trouvé ces résultats?

[Lostounet]

Bonnes questions.

Rappel: pour le second degré imaginons ax^2 + bx + c = 0 , supposons l'existence de deux racines x1 et x2,
Divisons l'équation par a (non nul car c'est une équation du 2nd degré):

x^2 + b/a * x + c/a = 0

Or x1 et x2 vérifient (x - x1)(x - x2) = 0
donc, par développement: x^2 - x^2*x - x1*x + x1*x2 = x^2 - (x1 + x2)*x + x1*x2

Cela signifie que - (x1 + x2) = b/a et que x1*x2 = c/a


Pour le troisième degré, le principe est le même mais les formules changent. Il y a un (-1)^n qui apparait dans la formule du produit avec n = 3 (de degré 3). Tu peux essayer de développer:
(x - x1)(x - x2)(x - x3) par exemple, et tu verras que le terme constante sera -x1x2x3 et pas +.

Remarque, pour le degré 2, n = 2 et (-1)^2 = 1 donc on ne le voit pas. Je te conseille de regarder par exemple le lien suivant (mais vraiment c'est pour la culture, inutile de retenir toutes ces formules pour les gros degrés, ta méthode est bonne et elle fonctionne dans la majorité des cas):

http://www.gecif.net/articles/mathemati ... ynome.html

Si tu es calé sur les dérivées, on peut te montrer une méthode encore plus performante pour trouver rapidement des racines d'une fonction polynôme !

[zygomatique]

Bonjour zygomatique,

Oui bien sûr, c'est après simplification par 4 ( http://www.cjoint.com/c/FEAkL222PR7 ), le but de mon post était simplement de montrer que l'on pouvait également faire une division euclidienne . . . c'est tout.

je ne parlais bien sur pas pour toi ....

mais du premier premier post bien sur .....


sinon pour répondre à la dernière question de Volvic (même si lostounet vient de le faire)


développe :

x - u puis k(x - u) (pour le premier degré)

(x - u)(x - v) puis a(x - u)(x - v) (pour le second degré)

(x - u)(x - v)(x - w) puis a(x - u)(x - v)(x - w) (pour le troisième degré)

...

regarde, réfléchis et vois ... et réfléchis à nouveau pour apprendre par toi-même ....

[Lostounet]

comment as-tu trouvé ces résultats?

Je pense qu'il serait plus sage d'attendre avant de t'expliquer la règle des signes de Descartes pour ne pas que tu crois qu'il faut du par cœur pour faire des maths

[laetidom]

En fait, Volvic si tu simplifies par 4, tu tombes sur

Un peu plus fun comme truc:
Les solutions entières sont forcément parmi les diviseurs de 30, donc parmi:
D = {+-1;+- 2; +-3; +-5; +-6; +-10 ; +-15; +- 30}

Par la règle des signes de Descartes, il y a au plus 2 racines positives.

Or, la somme des racines vaut 6
Et le produit des racines vaut -30
Somme des racines = -6

On constate que 3 et 5 fonctionnent et on s'arrête (car il y en a au plus 2 positives).

La troisième racine éventuelle: (-30)/(3*5) = -2
3 + (-2) + 5 = 6 est bien la somme des trois racines

Bonsoir Lostounet,

Puis-je avoir des précisions sur ces points qui ne m'apparaissent pas comme une évidence au moment où j'écris, en te remerciant par avance :
- forcément parmi les diviseurs de 30, pourquoi forcément ?
- Par la règle des signes de Descartes, il y a au plus 2 racines positives : quelle est cette règle ? au plus 2 ? . . .
- somme des racines = - 6 qui correspond à - 6 x² ?

Bonne soirée.

(oups . . . je n'avais pas vu qu'il y avait une seconde page, je laisse quand même)

@ zygomatique : pas de soucis ! ! ! c'est ok.

@ Volvic : Je vois la finalité ça m'a l'air bien pratique, mais j'ai pas compris le procédé (je serais incapable de le refaire) : c'était un complément d'information (savoir résoudre suivant plusieurs angles d'attaque, ça peut s'avérer sympa), c'est une division euclidienne comme avec des chiffres seulement on y met des x et x² . . .

[Lostounet]

Oui en fait pour le voir par des considérations arithmétiques simples: supposons qu'il y a une solution entière à l'équation notons-la 'n'. Ce nombre entier n (relatif) vérifie:

Soit:


Donc clairement ce produit d'entiers vaut -30 [ou 30 c'est pareil on s'en fout on peut tout multiplier par (-1)] donc n est un diviseur de 30 !

* fin du raisonnement*


Des fois on peut essayer* de trouver une racine rationnelle de la forme x = p/q. Par exemple, soit l'équation:


Cherchons une solution de la forme x = p/q avec p et q deux entiers tels que p/q est irréductible.

Alors p et q vérifient:

Multiplions tout par q^3:



donc:


p et q n'ont aucun diviseur commun par hypothèse, p ne divise pas q^3 donc p divise 6 le terme constant

Idem pour q:




donc q divise 3 (donc soit q = 1, soit q = 3) au signe près
p divise 6 (p = 1 ; p = 2; p = 3; p = 6)

donc x = p/q soit: x = 1 ou x = 1/3 ou x = 2 ou x = 2/3 ou x = 3 ou x = 6 ou x = 2
au signe près !

Parmi toutes ces racines, on les as toutes: x = 2/3, x = -1, x = 3

* "essayer": il existe certains critères pour des petits degrés (2 ou 3) qui permettent de soupçonner l'existence ou pas de racines entières/rationnelles mais cela devient assez poussé pour des degrés élevés et c'est quelque chose que je ne maîtrise pas (programme bac + 3)...

[laetidom]

Merci Lostounet pour ce long post enrichissant que je décortiquerais dès que j'aurais un petit peu plus de temps, merci ! ! ! Bonne journée @ tous !

[Volvic]

Remarque, pour le degré 2, n = 2 et (-1)^2 = 1 donc on ne le voit pas. Je te conseille de regarder par exemple le lien suivant (mais vraiment c'est pour la culture, inutile de retenir toutes ces formules pour les gros degrés, ta méthode est bonne et elle fonctionne dans la majorité des cas):

http://www.gecif.net/articles/mathemati ... ynome.html

Si tu es calé sur les dérivées, on peut te montrer une méthode encore plus performante pour trouver rapidement des racines d'une fonction polynôme !

Tiens! cette page! justement je l'avais déjà vu et je l'avais même imprimée me disant que ça pourrai servir! j'ai eu raison apparemment
J'ai donc essayé de factoriser mon polynome de départ avec cette méthode mais apparemment c'est pas possible avec cet exemple car:

Je ramène le coefficient du premier mononome à 1 pour que la méthode marche:

somme des racines
produit des racines(car impair)
facteurs premiers de -30:
Or, en testant tout, on ne peut pas avoir une somme de 8...
Donc on est obligé de tester manuellement danns cet exemple précis? puis continuer avec delta comme je l'ai fait plus haut?

(Pour les dérivées: je sais faire les bases: càd dériver les équations produit, quotient, composées)


zygomatique:

développe :

x - u puis k(x - u) (pour le premier degré)

(x - u)(x - v) puis a(x - u)(x - v) (pour le second degré)

(x - u)(x - v)(x - w) puis a(x - u)(x - v)(x - w) (pour le troisième degré)

...

regarde, réfléchis et vois ... et réfléchis à nouveau pour apprendre par toi-même ....

v s'annule
: polynome de degré 3 factorisé



v et w s'annulent


Voilà j'ai pas triché j'espère avoir bon...

[Lostounet]

C'est pas juste les diviseurs premiers qu'on doit regarder, mais bien les diviseurs tout court (dont les diviseurs premiers). Et je crains bien qu'on ne peut pas toujours trouver les racines avec cette méthode (en essayant de trouver avec des sommes et des produits ! C'est comme pour le second degré, pas toujours visible à l’œil nu).

Oui quand j'ai vu cette page j'ai pensé à toi C'est bien expliqué et assez clair.

Sinon tu peux aussi te servir de la dérivation !
C'est un outil puissant qui permet de localiser les racines de n'importe quelle fonction (simple).



A pour dérivée deux racines. J'en donne l'arrondi:
x = -0.08...
x = 4.08


Donc f'(x) est positive sur ]- infini ; -0.08[ U ]4.08 ; + infini[ donc f est croissante sur chacun de ces deux intervalles (pas la réunion )
Sur ]-0.08 ; 4.08[ f est décroissante.

D'autre part, f(-3) = -48
f(0) = 30

Mais f est croissante sur [-3 ; 0] (j'arrondis pour te donner l'idée) et elle on a montré qu'elle passe de la valeur -48 négative à la valeur 30 positive. Puisque f a sa courbe "d'un seul tenant", elle est obligée de prendre la valeur 0 en un certain x de [-3;0]. C'est ce qu'on appelle: le théorème des valeurs intermédiaires (version monotone).

Par exemple, tu peux essayer d'autres valeurs, en calculant f(4) et f(0) tu verras que f change de signe donc elle s'annule au moins une fois sur [0 ; 4]. Et tu peux donc tester pour des valeurs de x de cet intervalle.

[Volvic]

C'est pas juste les diviseurs premiers qu'on doit regarder, mais bien les diviseurs tout court (dont les diviseurs premiers). Et je crains bien qu'on ne peut pas toujours trouver les racines avec cette méthode (en essayant de trouver avec des sommes et des produits ! C'est comme pour le second degré, pas toujours visible à l’œil nu).

D'accord merci! peux tu m'expliquer rapidement pourquoi cela n'est pas possible? (de manière simple ) Qu'est-ce qui fait que cela ne marche pas?
Donc obligé de passer par les dérivées ou delta?

Sinon tu peux aussi te servir de la dérivation !
C'est un outil puissant qui permet de localiser les racines de n'importe quelle fonction (simple).



A pour dérivée deux racines. J'en donne l'arrondi:
x = -0.08...
x = 4.08

Ok pour la dérivation, mais les racines sortent d'ou?
désolé pour toutes ces questions, mais j'ai vraiment besoin de piger pour avancer en maths, faire des liens.
En tout cas merci à toi et à tous, vous êtes vraiment passionnés!

ps: j'ai bon sur les calculs que m'a donné à faire zygomatique?

[Volvic]

Autre question : pour decomposer la constante si c'est un grand nombre, y'a t'il un moyen rapide de le faire?
exemple? 2639=7*13*29
c'est super long de tester tous les nombres premiers jusqu’à 29...

[Lostounet]

Tu auras du mal à décomposer 29 en un produit de nombres plus petits vu qu'il est premier

(je réponds à ton précédent message)

[Volvic]

Tu auras du mal à décomposer 29 en un produit de nombres plus petits vu qu'il est premier

(je réponds à ton précédent message)

ce que je veux dire, c'est comment décomposer rapidement un grand nombre? (pour pouvoir utiliser la méthode du site)

[Lostounet]

Connais-tu les critères de divisibilité usuels?
Par exemple savoir si un nombre est divisible par 3, 4, 9, 5, 10, 7, 11 etc..?


Mais si le nombre est un gros nombre et produit de nombres premiers très grands, tu auras beaucoup de mal (c'est sur quoi s'appuiyent certains algorithmes de cryptographie pour éviter la fraude!)

[Lostounet]

OK

D'ou sort le -2x ? La première égalité est bonne mais pas la deuxième...

Celle-ci est fausse: je te laisse retenter. Tu trouves quelque chose de degré 1, donc ça ne peut pas être bon vu qu'on multiplie deux termes chacun de degré 1 il devrait y apparaitre du x^2

OK
Faux
v s'annule
: polynome de degré 3 factorisé



v et w s'annulent Pourquoi?

(Réponses en rouge)

D'accord merci! peux tu m'expliquer rapidement pourquoi cela n'est pas possible? (de manière simple ) Qu'est-ce qui fait que cela ne marche pas?
Donc obligé de passer par les dérivées ou delta?

Enfin, si tu y arrives du premier coup, pourquoi pas. Par exemple soit:
P(x) = x^2 + x - 6
S'il y a deux racines, leur somme vaut "-1" et leur produit vaut "-6".
Donc si t'arrives directement à dire que ces racines sont -3 et 2 et que ça se factorise en (x - (-3))(x - 2)
c'est bien.
Mais si tu n'y arrives pas, c'est pas la fin du monde et d'autres méthodes sont à disposition (notamment celle du discriminant delta, ou bien l'utilisation des dérivées pour localiser des racines avec le TVI (thm des valeurs intermédiaires version monotone).

Ok pour la dérivation, mais les racines sortent d'ou?
désolé pour toutes ces questions, mais j'ai vraiment besoin de piger pour avancer en maths, faire des liens.

Les racines de 3x^2 - 12x - 1 ?

Calculons le discriminant delta: D = (-12)^2 - 4*(3)*(-1) = 144 + 12 = 156
Donc deux racines: ~ -0.08
~ 4.08

Bien entendu on peut donner une forme exacte avec des racines plus simple etc.

Voilà

[Volvic]

OK

D'ou sort le -2x ? La première égalité est bonne mais pas la deuxième...

Celle-ci est fausse: je te laisse retenter. Tu trouves quelque chose de degré 1, donc ça ne peut pas être bon vu qu'on multiplie deux termes chacun de degré 1 il devrait y apparaitre du x^2

OK
Faux
v s'annule
: polynome de degré 3 factorisé



v et w s'annulent Pourquoi?

car -ux = -u*+x non?

Les racines de 3x^2 - 12x - 1 ?

Calculons le discriminant delta: D = (-12)^2 - 4*(3)*(-1) = 144 + 12 = 156
Donc deux racines: ~ -0.08
~ 4.08

Bien entendu on peut donner une forme exacte avec des racines plus simple etc.

Voilà

Ah ok je savais pas qu'on avait le droit de donner des valeurs approximatives des racines en décimales. Y'a pas moyen de les transformer en fraction?

Connais-tu les critères de divisibilité usuels?
Par exemple savoir si un nombre est divisible par 3, 4, 9, 5, 10, 7, 11 etc..?


Mais si le nombre est un gros nombre et produit de nombres premiers très grands, tu auras beaucoup de mal (c'est sur quoi s'appuiyent certains algorithmes de cryptographie pour éviter la fraude!)

Non connais pas, sur le site gecif ils décomposent des gros nombre comme pour rire sans expliquer la manoeuvre

[Lostounet]

[quote="Volvic"]

car -ux = -u*+x non?

Mais pourquoi il y a -xv -ux + uv qui disparaissent?
u: poires
x: un nombre positif genre 2
v: pommes

x^2 - 2pommes - 2 poires + pommes * poires (admettons que ça ait un sens)

Ben ... tu ne peux rien faire de plus ! les 2 pommes et 2 poires n’interagissent pas.
A la limite, on peut prendre x en facteur par exemple:


Du coup, si u et v sont les racines du polynome (x - u)(x - v), et qu'on note leur somme S = u + v et leur produit P = uv
on voit bien que dans la forme développée:

x^2 - S*x + P
C'est ce qui explique pourquoi on peut "lire" la somme et le produit des racines

Saurais-tu corriger les autres ? Tu as fait de bons calculs, c'est juste la fin à chaque fois qui n'a pas de sens...


2. Pour les arrondis des racines, non on n'a pas le droit
Mais moi j'ai le droit car je le fais pour transmettre une idée (dans un but pratique). Normalement c'est à proscrire en maths


3. tu devrais créer une discussion sur "comment decomposer un nombre"

[Volvic]

car -ux = -u*+x non?

Mais pourquoi il y a -xv -ux + uv qui disparaissent?
u: poires
x: un nombre positif genre 2
v: pommes

x^2 - 2pommes - 2 poires + pommes * poires (admettons que ça ait un sens)

Ben ... tu ne peux rien faire de plus ! les 2 pommes et 2 poires n’interagissent pas.
A la limite, on peut prendre x en facteur par exemple:


Du coup, si u et v sont les racines du polynome (x - u)(x - v), et qu'on note leur somme S = u + v et leur produit P = uv
on voit bien que dans la forme développée:

x^2 - S*x + P
C'est ce qui explique pourquoi on peut "lire" la somme et le produit des racines

Saurais-tu corriger les autres ? Tu as fait de bons calculs, c'est juste la fin à chaque fois qui n'a pas de sens...

Erf, je me suis fait avoir, le fait de voir que des lettres et pas des chiffres... j'ai pensé que +u-u=0...
et là je touche plus à rien ?

Mais moi j'ai le droit car

car c'est toi l'admin

[Lostounet]

C'est mieux, mais tu as refait l'erreur dans la troisième expression (un 2v est apparu du ciel).
La 3 et 4 ne sont pas finis par contre

Hahaha oui boss

[Volvic]

je sèche là, à partir des 2èmes lignes j'ose plus rien toucher