Repères et fonctions

[trezeguet]

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide sur cet exercice assez long. J'aimerai quelqu'un pour m'aider afin de le terminer demain soir au maximum.
Voici l'énoncé:

On a et b deux réels avec aa) Démontrer que pour tout x appartenant à cet intervalle, : f(a) < ou = f(x) < ou = f(b)

b) On appelle A l'aire de la partie grisée sous la courbe ( dessin si dessous ) En comparant l'aire de la partie grise à celle de deux rectangles de base (AB) avec A (a;0) et B (b;0) , démontrer que: (b-a) f(a) < ou égal A < ou = (b-a) f(b)

c) On suppose que f est fonction définie sur l'intervalle I= 1;3 par f(x) = 5- 1/5 ( x-4 )²
Vérifiez que f est positive et croissante sur I, et déterminez un encadrement de l'aire A de la partie située sous la courbe de f.

Ceci est la 1ere partie de l'exercice. Je serai libre demain matin et demain apres-midi pour le faire donc voilà.

J'espère vraiment avoir de l'aide, ceci n'est que la 1ère partie. Je suis totalement bloquée...
( je ne peux pas insérer d'images )
Merci

[Robic]

Bonjour ! Tu as fait la question a) ? Si ce n'est pas le cas, commence par rappeler la définition d'une fonction croissante (non, pas avec la dérivée, je parle de la vraie définition). Quand ce sera fait, tu auras la réponse sous tes yeux...

Pour la b), calcule l'aire des deux rectangles.

Pour la c), il faut vérifier qu'on est bien dans les hypothèses de la question précédente et appliquer la propriété du b).

[trezeguet]

Bonjour ! Tu as fait la question a) ? Si ce n'est pas le cas, commence par rappeler la définition d'une fonction croissante (non, pas avec la dérivée, je parle de la vraie définition). Quand ce sera fait, tu auras la réponse sous tes yeux...

Pour la b), calcule l'aire des deux rectangles.

Pour la c), il faut vérifier qu'on est bien dans les hypothèses de la question précédente et appliquer la propriété du b).

Merci de votre aide.
Alors si f est croissante, et positive, alors f*a l'est aussi et comme a f(a) ?
( Serez-vous là demain pour m'aider )
merci

[Robic]

Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris si tu as compris... La définition d'une fonction croissante, c'est que si a <= b alors f(a) <= f(b). Ici a <= b et f est croissante, donc f(a) <= f(b). Il reste à traiter le cas de x, c'est la même méthode.

(Demain je passerai peut-être rapidement en soirée, sans plus.)

[trezeguet]

bah x se trouve dans l'intervalle a;b donc a<=x<=b donc f(a)<=f(x)<=f(b) ?
Pour la b), je peux vous donner un lien vous montrant la figure ?

[Robic]

Je crois savoir à quoi ressemble la figure. Il faut comparer l'aire grisée aux aires des deux autres rectagnles (il y en a une qui est plus petite, et l'autre qui est plus grande), et on a besoin de calculer les aires des rectangles, comme je le disais plus haut.

[trezeguet]

bah ca fait donc (a) * f(a) et b*f(b)
et comme on a vu que f(b)>f(a) et b>a cette affirmation est vraie

[trezeguet]

Est-ce ça ?

[titine]

Est-ce ça ?

Non.
Le plus petit rectangle a pour base AB (de longueur b-a) et pour hauteur f(a). Son aire est donc (b-a)*f(a)
Le plus grand rectangle a pour base AB (de longueur b-a) et pour hauteur f(b). Son aire est donc (b-a)*f(b)

OK ? Tu vois ?

Pour c) as tu vérifié que f est positive sur [1;3] ? Et croissante ?

[trezeguet]

Je calcule sa dérivée donc ?
Ce qui donnerait 1/5²(x-4)² ==> positif donc ?
Si j'étudie le signe, je fais le tableau de variation
1 3
(x-4)² + +

elle est donc positive et croissante ?

[titine]

Je calcule sa dérivée donc ?
Ce qui donnerait 1/5²(x-4)² ==> positif donc ?
Si j'étudie le signe, je fais le tableau de variation
1 3
(x-4)² + +

elle est donc positive et croissante ?

1) J'ai bien peur que tu confondes positive et croissante !
2) Est ce que f(x) = 5- 1/(5(x-4)²) ou f(x) = 5- (1/5) * (x-4)² ?
Quoi qu'il en soit ta dérivée est fausse.

[trezeguet]

x²-2*x*4+16 = x²-8x+16
5-1/5x²-1.6x+3.2= 1/5x² -1.6x + 1.4
Ca me donnerait un polynôme du second degré avec a>0 mais mon résultat me parait bizarre

[trezeguet]

Une question: serez-vous là cet apres midi pour m'aider si possible ?

[paquito]

puisque f est positive et croissante l'aire du plus petit rectangle est (b-a)f(a), celle du plus grand (b-a)f(b) et l'aire sous la courbe est comprise entre les deux, donc (b-a)f(a)=
Je suppose que ta fonction est f(x)=5-(1/5)(x-4)² pour avoir une fonction croissante sur(1; 3);
la dérivée vaut f'(x)=(-2/5)(x-4)>=0 pour x=<4 donc >=0 sur (1; 3) et f est croissante sur (1; 3) et son minimum est f(1)=3,2, donc elle est bien positive.
On a ((3-1)f(1)=

[trezeguet]

C'est ce que je viens d'avoir. Merci. Sauf que j'ai 2/5 au lieu de (-2/5).
Je publie la deuxième partie de suite:

[trezeguet]

Le but de cette deuxième partie est d'améliorer l'encadrement de la question 1.
On appelle un entier naturel non nul n et une fonction positive et croissante f sur l'intervalle I=0;n L'idée est d'appliquer le résultat de la Quest°1 à chaque intervalle (0;1) (1;2)..., (n-1;n) pour encadrer les aires A1, A2, ..., An.

a) Démontrer que f(0) <= A1 <= f(1) , f(1) <= A2 <= f(2), ... , f(n-1) <= An <= f(n)
b) Déduisez un encadrement de l'aire A située sous la courbe représentative de f sur l'intervalle (0;n)
c) Appliquez ce résultat dans chacun des cas suivants, après avoir vérifié la croissance et la possibilité de la fonction f proposée:

f(x) = 2Vx + 1 et I = (0;4)
f(x) = 2-1/x²+1 et I= (0;5)
f(x) = 1/4-x et I=(0;3)

[trezeguet]

Je suis là si quelqu'un veut bien m'aider :D

[trezeguet]

Aide pour la suite s'il vous plait :)

[Robic]

J'arrive j'arrive...

Pour la question 3) de la première partie, j'aurais exploité le fait que la fonction est écrite sous forme canonique : f(x) = 5 - 1/5 ( x - 4 )² donc sa représentation graphique est une parabole tournée vers le bas dont le sommet est atteint en x = 4. On en déduit qu'à gauche de 4, la fonction est croissante, à droite elle est décroissante. [1;3] est à gauche donc la fonction est croissante sur cet intervalle. Ainsi, pas besoin de calcul (et l'erratum ci-dessous explique pourquoi j'évite les calculs : je me plante tout le temps...)

J'ai fait les calculs et j'ai obtenu 9,6 <= A <= 14,4. C'est que tu as trouvé ?
ERRATUM : erreur stupide de ma part, j'ai fait le calcul entre 1 et 4... Oui, c'est bien 6,4 <= A <= 9,6.

Bon, voyons la deuxième partie...

Question a) : commençons par A1. D'abord, fais un dessin avec juste A1, donc dans l'intervalle [0;1] (mais il est peut-être fait sur l'énoncé ?). Dessine les deux rectangles de la première partie qui encadrent la zone A1. Je rappelle qu'ici, a=0 et b=1. Tu vas calculer les aires des deux rectangles, en sachant que l'une est plus petite que A1 et l'autre est plus grande que A1. Ça te donnera f(0) <= A1 <= f(1).

Pour avoir le résultat général, il faudra faire la même chose sur [k-1;k] où k est un nombre quelconque entre 1 et n. Dans ce cas on aura a=? et b=? (je ne dis pas tout...)

b) C'est une application immédiate. Il faut utiliser le fait que A = A1 + A2 + ...

c) On verra quand tu auras fini a) et b).

[trezeguet]

Non en encadrament j'ai 6.4 < A < 9.6 tout comme Paquito avait trouvé