Repérage dans un plan et démonstration

[yoasof]

Bonjour,

voila, j'ai un devoir maison, et quelques soucis ...

A(-4;2) B(-2;-4) C(6;-4) D(4;6) sont quatres points dans un repère orthonormal.
I, J, K, L sont les milieux respectifs des segments [AB] [BC] [CD] [EA]
Conjecturer la nature du quadrilatère IJKL puis démontrer cette conjecture

Après avoir tracé la figure, il semble que le quadrilatere IJKL soit un carré

Démontrer la conjecture: ???
c'est la que je bloque, j'ai calculé les coordonnées de mes points par la méthode xI= (xB+xA)/2 et yI= (yB+yA)/2 ce qui me donne I(-3;-1)
idem pour les autres points J(2;-4) K(5;1) L(0;4)

Mais à présent, comment démontrer que IJKL est un carré ?
J'avais pensé à ça:

-je peux demontrer que IK et JL se coupent en I (diagonnales) donc paralelograme
-calculer IJ = IL donc losange
-Je calcule la longueur IL, et avec pythagore je démontre que (IL)²=(IJ)²+(IK)² donc JÎL est droit donc IJKL est un carré

Vous en pensez quoi, y aurait il quelque chose de mieux ?

Merci d'avance

[annick]

Bonjour,
tu peux, à partir des coordonnées que tu as trouvé, calculer les mesures de , IJ,JK,KL,LI. Que remarques-tu ?
Tu peux aussi prouver que vecteur IJ=vecteur LK
De même pour LI et KJ

Donc ?

[yoasof]

Bonjour annick, et merci pour la réponse.

1) Oui, les quatres cotés ont la même longeur, en démontrant que le vecteur IJ = LK on aura IJ // LK
idem pour les vecteur LI // KJ
la on a 4 coté egaux, et les cotés opposés //, on a un losange non, pas un carré si ?
Y a t'il une erreur dans mon raisonnement ?

2) Le problème c'est que l'on a pas encore vu les vecteurs et ni en 3 eme, car supprimé du programe, ce que je connais un peu sur les vecteurs, c'est en ayant lu mon livre

Donc pour en revenir a mon exercice, je suis cencé savoir calculer la distance d'un segment, ainsi que le milieu d'un segment, mais rien sur les vecteurs, voila pourquoi j'avais trouvé cette démonstration un peu bizarre, mais s'il y a mieux , je suis preneur.

merci d'avance

[annick]

Effectivement,sinon:

Calcul du milieu de LJ et IK, donc diagonales se coupant en leur milieu : parallélogramme
Calcul des longueur LJ et IK, donc diagonales égales : carré ou rectangle
Calcul de la longueur des 4 côtés : égaux, donc carré.

Tous les calculs de longueurs et de milieu se font avec les coordonnées, sans passer par Pythagore, ce qui est plus "propre" dans un exo comme celui-ci

[yoasof]

merci beaucoup annick, bonne soirée