Relation dans le triangle

[posso49]

Je cherche de l'aide pour cet exercice :
Soit un triangle ABC, l'orthocentre H, le centre du cercle circonscrit O et un point M sur OH tel que .
Montrer que l'on a : .
Merci.

[Black Jack]

Une méthode possible mais un peu calculatoire ... par la géométrie analytique.

On choisit un repère tel que A(0;0) , B(1;0) et C(X;Y)

On cherche les coordonnées de H (sauf erreur on arrive à H(X ; (X-X²)/Y)

On cherche les coordonnées de O (sauf erreur, on trouve : O(1/2 ; (X²+Y²-X)/(2Y))

On arrive alors à : vecteur OH = (X-1/2 ; (3X-3X²-Y²)/(2Y))

et donc k.vecteur OH = ...

Et on en déduit les coordonnées de M (cordonnées de O + coordonnées de k.vecteur OH)

Sauf erreur, on arrive à : M(1/2 + k(x-1/2) ; (X²+Y²-X)/(2Y) + k.(3X-3X²-Y²)/(2Y))

On a donc les coordonnées de A, B , C et M ... et on peut calculer MA², MB², MC² , a² , b² , c²

Et il reste à vérifier si la relation de l'énoncé est OK.

Rien de difficile ... mais risque d'erreur d'inattention dans les calculs.

Je n'ai rien vérifié.

[capitaine nuggets]

Je cherche de l'aide pour cet exercice :
Soit un triangle ABC, l'orthocentre H, le centre du cercle circonscrit O et un point M sur OH tel que .
Montrer que l'on a : .
Merci.

Salut !

Tu travailles bien avec des longueurs algébriques ? Dans ce cas, que signifie ? Que sont a,b et c ?

[chan79]

a, b et c sont les longueurs des côtés du triangle ABC.
L'égalité semble vraie pour tout point M de la droite d'Euler.

[Ben314]

Salut,
Si ce que tu note (bizarrement...) , c'est le carré de la distance de à , c'est à dire le carré de la norme du vecteur c'est à dire encore le produit scalaire du vecteur avec lui même.
Alors, un truc plus que classique dans une telle expression, c'est d'introduire un nouveau point pour essayer d'écrire la somme plus simplement :





Et arrivé à ce point, vu que quelque soit le point choisi, le premier morceau ne se simplifie pas particulièrement, il faut regarder ce qui simplifierais le deuxième morceau, et bien évidement, c'est le choix de (centre du cercle inscrit) qui saute aux yeux vu que ça donne (=rayon du cercle inscrit) et ça donne :
(valable pour absolument n'importe quel point du plan)
Ensuite, vu le résultat escompté, à savoir que ce réel est nul lorsque il suffit de montrer que .

[cailloux1]

Bonjour,

En faisant intervenir le point avec Chasles, tu peux montrer que le lieu des points vérifiant ta relation est une droite.

(On obtient une relation du genre )

Il reste à montrer que et vérifient ta relation de départ.

[chan79]

On pourrait poser M(x,y) et traduire l'égalité: ((x(A)-x)²+(y(A-y)²)(b²-c²)+....=0
Les coefficients de x² et y² sont nuls. On a bien une droite sauf cas particuliers (ABC équilatéral)
O appartient à cette droite ainsi que G.
Les points qui vérifient l'égalité sont ceux de la droite d'Euler.
Mais ce serait mieux de montrer que
est normal à la droite d'Euler.

[posso49]

Merci pour vos réponses.