Règle de dérivation

[Clauclo06]

Bonjour,

Voici le problème avec lequel j'ai de la difficulté :

Démontrez la règle de dérivation suivante :

Arc cot (u)' = (-1 / 1+u^2) * u' où u = g(x)

J'ai de la difficulté à savoir comment le commencer. De plus, selon les règles dans mon livre, la dérivée d'une fonction trigonométrique inverse munie d'une fonction (Arc cot g(x)), ne détient pas de signe négatif au numérateur. Quelqu'un peut m'aider ?

Merci !

[Black Jack]

Bonjour,

Voici le problème avec lequel j'ai de la difficulté :

Démontrez la règle de dérivation suivante :

Arc cot (u)' = (-1 / 1+u^2) * u' où u = g(x)

J'ai de la difficulté à savoir comment le commencer. De plus, selon les règles dans mon livre, la dérivée d'une fonction trigonométrique inverse munie d'une fonction (Arc cot g(x)), ne détient pas de signe négatif au numérateur. Quelqu'un peut m'aider ?

Merci !

y = arccotg(g(x))

g(x) = cotg(y) = cos(y)/sin(y)
g'(x) = (-sin²(y)-cos²(y))/sin²(y) * y'
g'(x) = - y'/sin²(y)
y' = - g'(x) * sin²(y)

Or cotg(y) = cos(y)/sin(y)
cotg²(y) = cos²(y)/sin²(y)
1 + cotg²(y) = 1 + cos²(y)/sin²(y) = (sin²(y) + cos²(y))/sin²(y) = 1/sin²(y)
sin²(y) = 1/(1 + cotg²(y))

y' = - g'(x) * 1/(1 + cotg²(y))
y' = - g'(x) * 1/(1 + (g(x))²)

et comme u = g(x) --> [arccotg(u)]' = -1/(1+u²) * u'

:zen:

[Clauclo06]

Bonjour !

Je ne suis pas sûre de bien comprendre la démarche. Je suis désolée, j'ai un peu de difficulté avec ce module.

1. Je sais que cos' (y) devient -sin (y), mais pourquoi à ce moment-ci cos (y) devient (-sin^2 (y) -cos^2 (y))

2.Je ne comprend pas trop la démarche... En premier lieu, vous faites la dérivée. Ensuite vous revenez à la valeur initiale et mettez des exposants 2. Pourriez vous appuyer votre démarche de mots s'il vous plaît ? Je crois que cela m'aiderait beaucoup.

Je vous remercie beaucoup !!!

Claudia

[Lostounet]

Bonjour,

Tout dépend de la question: est-ce que la dérivée de la fonction Arccot est donnée dans le livre?

Si oui, alors nous utilisons la formule de la dérivation des fonctions composées. Composer des fonctions, c'est appliquer une fonction à une autre fonction.
La formule qui permet de dériver une fonction "composée" :



Ici, on applique la formule avec f la fonction Arccot, et f(g(x)) = Arccot(g(x))

Tu me suis?

Donc, d'après la formule de la dérivée de Arccot, on sait que

C'est bien f', puisque f = Arccot(x)
donc f'= Arccot'(x)

Il s'ensuite donc par la formule:




Si la formule de la dérivée de la fonction Arccot n'est pas donnée, il faut un travail supplémentaire ! Il faut aussi faire attention aux fonctions que l'on compose...

[mathelot]

et

en dérivant par rapport à x:

[Black Jack]

Bonjour !

Je ne suis pas sûre de bien comprendre la démarche. Je suis désolée, j'ai un peu de difficulté avec ce module.

1. Je sais que cos' (y) devient -sin (y), mais pourquoi à ce moment-ci cos (y) devient (-sin^2 (y) -cos^2 (y))

2.Je ne comprend pas trop la démarche... En premier lieu, vous faites la dérivée. Ensuite vous revenez à la valeur initiale et mettez des exposants 2. Pourriez vous appuyer votre démarche de mots s'il vous plaît ? Je crois que cela m'aiderait beaucoup.

Je vous remercie beaucoup !!!

Claudia

Ce n'est pas ce que j'ai écrit.

On part de y = arccotg(g(x))

g = cotg(y) = cos(y)/sin(y)

et en dérivant cos(y)/sin(y) par rapport à x, il vient :
( cos(y)/sin(y))' = (-sin²(y)-cos²(y))/sin²(y) * y'
g' = - y'/sin²(y)
y' = - g'(x) * sin²(y)
*****
En fait, on a : g = v/w
on a alors g' = (v'.w - w'.v) /w²

Ici, on a v = cos(y) et w(y) = sin(y)
--> v' = -sin(y).y' et w' = cos(y).y'

g' = (v'.w - w'.v) /w² = (-sin(y)*sin(y).y' - cos(y)*cos(y).y')/sin²(y)

g' = (-sin²(y) - cos²(y))/sin²(y) . y'

g' = -(sin²(y) + cos²(y))/sin²(y) . y'

g' = -1/sin²(y) . y'

g' = -y'/sin²(y)
*****
On montre ensuite que sin²(y) = 1/(1 + cotg²(y))

et en remettant cela dans l'expression de g', il vient :

g' = -(1 + cotg²(y)).y'

--> y' = - g'/(1+cotg²(y))

et comme u = g(x) et y = arccotg(x) --> [arccotg(u)]' = -1/(1+u²) * u'

:zen:

[Clauclo06]

Merci beaucoup !

[Clauclo06]

Merci à vous !

[Clauclo06]

Ce n'est pas ce que j'ai écrit.

On part de y = arccotg(g(x))

g = cotg(y) = cos(y)/sin(y)

et en dérivant cos(y)/sin(y) par rapport à x, il vient :
( cos(y)/sin(y))' = (-sin²(y)-cos²(y))/sin²(y) * y'
g' = - y'/sin²(y)
y' = - g'(x) * sin²(y)
*****
En fait, on a : g = v/w
on a alors g' = (v'.w - w'.v) /w²

Ici, on a v = cos(y) et w(y) = sin(y)
--> v' = -sin(y).y' et w' = cos(y).y'

g' = (v'.w - w'.v) /w² = (-sin(y)*sin(y).y' - cos(y)*cos(y).y')/sin²(y)

g' = (-sin²(y) - cos²(y))/sin²(y) . y'

g' = -(sin²(y) + cos²(y))/sin²(y) . y'

g' = -1/sin²(y) . y'

g' = -y'/sin²(y)
*****
On montre ensuite que sin²(y) = 1/(1 + cotg²(y))

et en remettant cela dans l'expression de g', il vient :

g' = -(1 + cotg²(y)).y'

--> y' = - g'/(1+cotg²(y))

et comme u = g(x) et y = arccotg(x) --> [arccotg(u)]' = -1/(1+u²) * u'

:zen:

Bonjour ! Comment faisons-nous pour démontrer que sin^2(y) = 1/(1+cotg^2(y) ?

Je vous remercie beaucoup !

[capitaine nuggets]

Salut !

En utilisant simplement la définition de la fonction cotangente .

Exprime , puis pour en déduire le résultat voulu.

:we:

[Clauclo06]

Merci à vous !