Récurrence TS

par **cindynight** » 31 Oct 2007, 11:21

Bonjour, j'ai une recurrence a faire et je coince a la demonstration pourriez vous m'aider???????

VOici l'enoncé:
On veut montrer par 2 méthodes différentes ke pr tt rél positif x et pr tt entier naturel non nuls n, on a : (1+x)^n supérieur ou egal 1+nx

1)Montrer le resultat par recurrence
2)Déterminer le signe de (1+x)^n-1-nx en étudiant une fonction et conclure.

Donc la 1) je coince a la démonstration et la 2) je pense kil faut que je fasse u+v
Je ne suis pa sur pouver vous m'aider?

par **Taupin sur Lyon** » 31 Oct 2007, 11:27

Dans ton hérédité...
Tu auras :
(1+x)^n+1 = (1+x)^n * (1+x) !
Et tu sais que (1+x)^n > 1+nx...
Donc tu remplaces en mettant le signe >... et tu continues, ça vient tout seul ;)

2eme méthode... Tu considères la fonction f(x) = (1+x)^n -1-nx !
Tu dérives et tout et tout... ^^

par **Polly** » 31 Oct 2007, 11:29

Pour la 1)

n=1 c'est bon ?

Tu supposes que c'est vrai au rang n.
Tu verifies pour n+1 : (1+x)^{n+1} = (1+x)^n*(1+x)>= (1+nx)(1+x) D'après l'hypothése.
= 1+(n+1)x+nx² (tu dév.)
>= 1+ (n+1)x car nx²>=0

Conclusion . . .

TU as compris ?

par **cindynight** » 31 Oct 2007, 11:31

Euh moi ds l'hérédité j'ai (1+x)^k supérieur ou egal a 1+kx
et (1+x)^(k+1) supérieur ou égal a 1+(k+1)x

C'est faux?

par **Taupin sur Lyon** » 31 Oct 2007, 11:35

En fait...
Tu dois partir de (1+x)^k+1, pour montrer que ceci est supérieur à 1+(k+1)x, en te servant du fait que (1+x)^k > 1+kx !

J'éspère avoir compris ce qui allait pas... Sinon, dis-moi précisément ou tu bloques !

par **cindynight** » 31 Oct 2007, 11:39

ui je sais kil faut utiliser ca ms apres j'arrive pa a démontrer

par **Taupin sur Lyon** » 31 Oct 2007, 11:48

Autant pour moi... la réponse de Poly est très complète , regarde-la ;)

par **cindynight** » 31 Oct 2007, 11:50

Je vois pa comment il arrive a ca

par **cindynight** » 31 Oct 2007, 11:52

Polly a écrit:Pour la 1)

n=1 c'est bon ?

Tu supposes que c'est vrai au rang n.
Tu verifies pour n+1 : (1+x)^{n+1} = (1+x)^n*(1+x)>= (1+nx)(1+x)

Comment il passe de la 2eme expression a la 3eme???

par **Taupin sur Lyon** » 31 Oct 2007, 11:53

Euh... là franchement, je vois pas comment on peut faire + clair !
Prends un crayon, un papier, et recopie-le, et réfléchis-y : la réponse est donnée, donc tu devrais la comprendre...

par **cindynight** » 31 Oct 2007, 11:53

a non c'est bon j'ai compris

par **cindynight** » 31 Oct 2007, 11:57

Polly a écrit:Pour la 1)

n=1 c'est bon ?

Tu supposes que c'est vrai au rang n.
Tu verifies pour n+1 : (1+x)^{n+1} = (1+x)^n*(1+x)>= (1+nx)(1+x) D'après l'hypothése.
= 1+(n+1)x+nx² (tu dév.)
>= 1+ (n+1)x car nx²>=0

Cependant, il reste un x en trop? nn?

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